Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные теоремы о существование предела последовательности.
Теорема Вейрштрасса: Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда $ lim an=а<¥ n®+¥ Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.
Лекция №5 Тема: Бесконечно большие последовательности
Теорема: lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183 n®+¥ 0£an=1-1/n£1 "nÎ N, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна. n+1Öan=n+1Ö(1-1/n)n·1=n+1Ö(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)·1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n·1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1 n+1Ö(1-1/n)n<1-1/n+1 (1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1 an<an+1 "nÎ N Þ последовательность возрастает и ограниченная. (1-1/n)n – имеет конечный предел lim(1-1/n)n=1/e n®+¥ Следствие lim(1+1/n)n=e n®+¥ lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e n®+¥ lim[1/(1+1/n)n]=1/e n®+¥ lim(1+1/n)n=e n®+¥ Определение под последовательности Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что n1<n2<n3<…<nk<…. an1,an2,…,ank,… Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности. an=(-1)n {an}={-1;1;-1;1….} n1=2;n2=4,….,nk=2k {ank}={1,1,1,1…} Теорема Пусть последовательность an сходится, тогда "последовательности $ lim an=a "{ank} – гас и lim n®+¥ lim ank=0 n®+¥ Доказательство так как an – сходиться, то "ε>0 $N: "n>N Þ |an-a|<ε ank; nk>N то есть |ank-a|<ε Пример an=(-1)n – не имеет предела {a2n}={1,…,1,…,} {a2n-1}={-1,….,-1,…} имели бы тот же самый предел. Предел функции. Определение Пусть y=f(x) определена в O°(x0). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при х®х0 если "ε>0 $ d>0 "x:0<|x-x0|<dÞ |f(x)-b|<ε lim f(x)=b x®x° Через окрестности это определение записывается следующим образом "ε>0 $d>0 "xÎ0°d(x0)Þf(x)Î0ε(b) Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при x®x0. x®x° Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу ® а. f(x)=x-1
1.x®1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x®1 x®1 2.x®2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x®2 x®1 Пример f(x)=2x+1 x®1 Докажем lim(2x+1)=3 x®1 "ε>0 $d>0 "x:0<|x-1|<dÞ |(2x+1)-3|<ε |(2x+1)-3|<ε |x-1|<ε/2 x¹1 Положим d=ε/2 Теорема о бесконечно малом 1)a(x);b(x) – бесконечно малое x®x0 Þ a(x)+b(x) – бесконечно малое при x®x0 2)a(x);b(x) – бесконечно малое при x®x0 3)Если f(x) – ограниченна в O°(x0) и a(x) – бесконечно малое при x®x0, то f(x);a(x) – бесконечно малое при x®x0
Доказательство (3) Так как f(x) – ограниченна в O°(x0), то $ С>0: "xÎO°(x0)Þ|f(x)|£C; Так как a(x) – бесконечно малое при х®х0, то "ε>0 $d>0 "x: 0<|x-x0|<d Þ |a(x)|<ε "ε1>0 Положим ε=ε1/c $d>0 "x: 0<|x-x0|<dÞ |f(x)a(x)|=|f(x)||a(x)|<Cε=ε1Þ lim f(x)a(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при x®x0 x®x° Лекция №6 Тема: Замечательные пределы Теорема f(x)>g(x) в O°(x0) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g(x))=c. Тогда b³c x®x° x®x° Доказательство: Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-g(x)>0 в O°(x0) Þ lim (g(x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей x®x° x®x° x®x° теоремы b-c³0, то есть b³0 что и требовалось доказать.
Теорема f(x)£g(x)£g(x) " xÎO°(x0) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g (x))=b. Þ lim (g (x))=b x®x° x®x° x®x° Доказательство: f(x)=b+a(x) g(x)=b+b(x) где a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х0 b+a(x)£g(x)£b+b(x) Так как a(х) и b(х) – бесконечно малые то "ε>0 $d1>0: " xÎO°d1(x0) Þ |a(x)|<ε $d2>0: " xÎO°d2(x0) Þ |b(x)|<ε Положим d=min{d1;d2} Тогда " xÎO°d(x0) Þ |a(x)|<ε |b(x)|<ε -ε<a(x)<ε -ε<b(x)<ε b-ε<b+a(x)£g(x)£b+b(x)<b+ε -ε<g(x)-b<ε |g(x)-b|<ε " xÎO°d(x0) " ε>0 $ d=min{d1;d2} Þ |g(x)-b|<ε "xÎO°d(x0) то есть lim (g (x))=b x®x°
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 192; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.202.45 (0.009 с.) |