Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке хÎ(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

 

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0 (f(x₀)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х₀)

Доказательство: $ lim f(x)=f(x₀)Û "ε>0 $ d>0 "x: |x-x₀|<d Þ |f(x)-f(x₀)|<ε.

^x®x_°

Пусть f(x₀)>0, выберем ε=f(x₀) Þ |f(x)-f(x₀)|<f(x₀) "xÎO_d(x₀) ($d>0!)

-f(x₀)<f(x)-f(x₀)<f(x₀); f(x)>0 "xÎO_d(x₀), если f(x₀)<0, то ε=-f(x₀)

 

Теорема Коши: (о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда $ x₀Î(a,b): f(x₀)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

 

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b]É[a₁,b₁]É[a₂,b₂]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a₁<a₂<…<a_n<…<b

b³b₁³b₂³…³b_n³…>a Þ

{a_n}-ограниченная не убывающая $ lim a_n=a£b f(a)<0 f(a_n)<0 "n

^x®+¥ |[a_nb_n]|=(b-a)/2ⁿ ®0 при n®¥

{b_n}-ограниченная не возрастающая $ lim b_n=b³a f(b)>0 f(b_n)>0 "n

^x®+¥

В силу непрерывности функции lim f(a_n)=f (lim b_n)=f(b)³0 lim (b_n-a_n)=b-a= lim (b-a)/2ⁿ=0Þa=b

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥}

f(a)£0

Þ f(a)=0 x₀=a

f(b)=f(a)³0

Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0

Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить

 

 

Неограниченна сверху Þ неограниченна

 

б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

полуинтервал.

Непрерывна на (0;1]

 

 

2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1ÎМ

наименьшее значение 0 Î М

б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1ÎМ

нет наименьшего

в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

наименьшее значение 0 Î М

г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

xÎ(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения

Лекция №10

Тема: «Коши, производные»

 

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B A¹B. Тогда "С лежащею между А и В, $ х₀Î(a,b): f(x₀)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: A<B, "CÎ(A,B) g(x)=f(x)-C.

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

g(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1Þ[1] $ x₀Î(a,b):g(x₀), то естьf(x₀)-C=0Þ f(x₀)=c

g(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d]Ì[A,B]

[c,d)ÏE(f)

 

 

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

 

Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x₀)

∆x=x-x₀ – называется приращением аргумента в т х₀ Х

^Х_° ^Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) – называется приращением функции в точки х₀. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x®0}

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]º0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_°^{®0 x®x}_° ^x®x_°

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x®0}

 

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и $ lim[∆y/∆x]<¥, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

^∆х®0

точке х₀.

Обозначения:

f’(x₀), y’(x₀), dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x₀) по определению = lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)ºlim∆y/∆xºdy/dx

^{∆x®0 ∆x®0}