Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х²)

Таблицей

Х	Х1	Х2	Х3	Х4
У	У1	У2	У3	У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

 

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D (]xÌD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1) Возрастающая на Х, если для любого х ₁; х ₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)<f(x₂)

2) Убывающий на Х, если для любого х ₁; х ₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)>f(x₂)

3 ) Не убывающий на Х, если для любого х ₁; х ₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)£f(x₂)

4 Не возрастающая на Х, если для любого х ₁; х ₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)³f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1) Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется x £ R

2) Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х

3) Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х£В, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется |х|£С

 

 

Лекция №2

 

Тема: Функции

 

 

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

 

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D= R

E= R ₊

G=[-1;1]

 

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)), " yÎE y=f(g(y)), для любого уÎЕ

Û

x=g(f(x)), " xÎD x=g(f(x)), для любого хÎD

 

Примеры:

1)y=x³ Û x=³Öy

D= R

E= R

 

 

2)y=x² Û x=Öy

D= R ₊ È{0}=[0;+¥)

E=[0;+¥)

D= R _- È{0}=(-¥;0]

E=[0;¥)Û x=-Öy

 

3)y=sinx

D=[-p/2;p/2]

E=[-1;1]

x=arcsin y

yÎ[-1;1]; xÎ[-p/2;p/2]

 

 

Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

 

Определение: y=f(x), nÎN

a₁=f(1)

a₂=f(2)

a_n=f(n)

{a_n} – множество значений силовой последовательности nÎN или а_n

{а_n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

а_n=1/n

{а_n}={sin1;sin2;sinn}

а_n=sinn

а_n=(-1)ⁿ/n

 

{(-1)ⁿ}={-1;1;-1;1;-1;1…}

 

Ограниченные последовательности.

1) Ограниченная сверху, то есть существует В так что а_n£В, для любого nÎN

2) Ограниченная снизу, то есть существует А так что А£b_n, для любого nÎN

3) Ограниченная, то есть существует А,В так что А£а_n£В, для любого nÎN Û существует С>0 так что |а_n|£С, для любого nÎN.