Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема: «Асимптотические формулы»
Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.
1) lim [sin(x)/x]=1 Û (по определению конечного предела sin(x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0 x®0 Û sin(x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ sin(x)=x+ox, при х®0; sin(x)~x, при х®0 2) lim [ln(1+x)/x]=1 Û (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при x®0 х®0 Û ln(1+x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ ln(1+x)=x+ox, при х®0; ln(1+x)~x, при х®0 3) lim [(ex-1)/x]=1 Û (по определению конечного предела (ex-1)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0 x®0 Û (ex-1)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (ex-1)=x+ox, при х®0; (ex-1)~x, при х®0; ex=1+x+o(x), при x®0 4) lim [(1-cos(x)/(x2/2)]=1 Û (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x2/2)=1+a(x), где a(х) – бесконечно x®0 малое при х®0 Û 1-cos(x)=(x2/2)+a(x)x2/2, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ 1- cos(x)=(x2/2)+ox2; при х®0; 1- cos(x)~x2/2, при х®0; cos=1-x2/2+o(x2), при x®0 1) lim [((1+x)p-1)/px]=1 Û (по определению конечного предела ((1+x)p-1)/px =1+a(x), где a(х) – бесконечно x®0 малое при х®0 Û (1+x)p-1=px +a(x)-p, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (1+x)p-1=px+ox, при х®0; (1+x)p-1~px, при х®0;(1+x)p=1+p(x)+o(x), при x®0 Если f(x)~g(x), при х®х0 (±¥), то lim[f(x)/g(x)]=1 Û f(x)/g(x)=1+a(x), где a(х)–бесконечно малое при х®х0 (±¥) х®х0 (±¥) Û f(x)=g(x)+a(x)g(x)Þ f(x)=g(x)+og(x) при х®х0 (±¥) Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить. Пример: a(x)=xsin(1/x), при х®0 a(х)=ф=х, при х®0 a(x)/b(x)=sin(1/x) lim[a(x)/b(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует. x®0 x®0 Эти бесконечно малые несравнимы. Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=a(х), при х®х0 (±¥) а0º1 n!=1·2·3….n o! Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х0) и $ lim f(x)=f(x0): y=f(x) при х®х0 называется непрерывной в х®х° точке х0 (то есть " ε>0 $ d>0: " xÎOd(x0) Þ f(x)ÎOε(f(x0)) Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях. Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х0 Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)+g(x) определена в О(х0) 2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать х®х°х®х° х®х° Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х0 Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)g(x) определена в О(х0) 2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать х®х°х®х° х®х°
Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х0 Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)/g(x) определена в О(х0) 2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать х®х°х®х° х®х° Теорема (об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки. Доказательство: limf(x)=f(x0), то есть " ε>0 $ d>0 "x: |x-x0|<d Þ |f(x)-f(x0)|<ε. Предполагается, что d выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. Оd(х0)ÌО(х0). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1 Þ $d>0 -1<f(x)-f(x0)<1; "xÎOd(x0)ÌO(x0)Þ f(x0)-1<f(x)<1+f(x0)x, то есть В<f(x)<A "xÎOd(x0)ÌO(x0) Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, а z=g(y) непрерывна в точки y0=f(x0), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x0)) – непрерывна в точки х0. Доказательство: Зададим " ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у0 $ б>0"x: |y-y0|<бÞ |g(y)-g(x0)|<ε По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х0 $ d>0 "x: |x-x0|<dÞ |f(x)-f(x0)|<б "ε>0 $d>0 "x:|x-x0|<d |y-y0|<б Þ |g(y)-g(y0)|<ε Þ|g(f(x))-g(f(x0))| то есть lim g(f(x))=g(f(x0)) x®x° Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x0)=y0 x®x° x®x° x®x° Непрерывность некоторых функций. 1) y=c (постоянная) непрерывна в "х0Î R lim c=c. Зададим "ε>0 рассмотрим разность |f(x)-f(x0)|=|c-c|=0<ε x®x° " x: |x-x0|<d ("d>0)! 2) y=x непрерывна в " x0Î R, то есть lim x=x0. Зададим "ε>0 рассмотрим разность |f(x)-f(x0)|=|x-x0|<ε x®x°
" x: |x-x0|<d ("d>0)! Þd=ε!
Следствие. Многочлен p(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0 (an,an-1…a1,a0 – зададим число) n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х0 оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция: R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х0 в которой q(x)¹0
Лекция №9 Тема: «Точки разрыва»
1) Доказать, что lim [((1+x)p-1)/px]=1 x®0 y=(1+x)p-1 lim [((1+x)p-1)/px]= x®0 Þ y®0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)· x®0 (1+x)p=y+1 x®0 x®0 p[ln(1+x)]=ln(y+1)
·lim([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ (1+x)p-1~px при x®0 x®0 y®0 (1+x)p=1+px+o(x) при х®0
2) Доказать, что lim (ex-1)/x=1 x®0 y=ex-1 lim (ex-1)/x= x®0 Þ y®0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ x®0 ex=y+1 y®0 x=ln(y+1)
ex-1~x при x®0 ex=1+x+o(x) при х®0
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 217; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.108.54 (0.012 с.) |