Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х₀), тогда

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[f’’(c)(x-x₀)²]/2 где с лежит между х и х₀

 

уравнение касательной

 

Если |f’’(x)|£M "xÎO(x₀)

f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х₀)

f(x)=T_n(x)+R_n(x)§ в О(х₀)

n=1

T₁(x) – линейная функция

n=2

- график парабола

|f(x)-T₁(x)|=|f’(x₀)||x-x₀|

|f(x)-T₂(x)|=[|f’’(x₀)||x-x₀|²]/2

T₃(x)=ax³+bx²+cx+d – график кубическая парабола

 

 

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

 

 

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

 

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О°(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

 

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

 

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О°(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

 

f’’(x) - +

^{(·) x}

x₀

f’’(x)<0 в O°^-(x₀)Þ f(x) – выпукла вверх в О°^-(х₀)

f’’(x)>0 в O°⁺(x₀)Þ f(x) – выпукла вниз в О°⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀, тогда точка х₀ точка максимума если f’’<0, точка х₀ точка минимума если f’’(x₀)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х₀ знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x₀)Þ f(x)-f(x₀)>0 в О°(х₀), если f’’(x₀)>0 то есть f(x)>f(x₀) в О°(х₀)Þ х₀ точка минимума, если f(x)-f(x₀)<0 в О°(х₀), и если f’’(x₀)<0 то есть f(x)<f(x₀) в О°(х₀)Þ х₀ точка максимума.

Замечание: Если f’(x₀)=0 и f’’(x₀)=0, то нужны дополнительные исследования.

 

Лекция №17

Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

1.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).