Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих сфер

Две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов этих поверхностей. При этом плоскости окружностей сечения перпендикулярны оси поверхностей вращения, а центры окружностей принадлежат этой оси. Поэтому если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость окружности сечения проецируются в отрезки прямых, перпен­дикулярных проекциям оси вращения.

В качестве вспомогательной секущей поверхности вращения целесообразно использовать удобную для вычерчивания сферическую поверхность, центр которой должен принадлежать оси поверхности вращения (рис. 1.73). Здесь сфера Σ (i,m) пересекается с поверхностью вращения Ф(i,n) по окружностям, т. к. полумеридианы поверхности вращения и сферы имеют две точки пересечения – A и В.

При построении линий пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих сфер возможны два случая. В одном из них используют сферы, проведенные из одного общего для всех сфер центра, а в другом – сферы, проведенные из разных центров. В первом случае имеем способ концентрических сфер, во втором – способ эксцентрических сфер.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1.7.4.1. Способ вспомогательных секущих концентрических сфер.

Этот способ можно использовать, если выполняются следующие условия:

- пересекаются две поверхности вращения;

- оси поверхностей вращения пересекаются;

- плоскость, образованная пересекающимися осями (общая плоскость симметрии поверхностей), параллельна одной из плоскостей проекций. Именно на этой плоскости проекций и проводят вспомогательные секущие сферы, центр которых лежит в точке пересечения осей.

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и j пересекаются в некоторой точке О и параллельны плоскости проекций П₂ (рис. 1.74).

Вначале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций П₂, то их контур­ные образующие, по отношению к плоскости П₂, пересекаются. Точки А, В, С и D пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей. Эти точки ограничивают фронтальную проекцию линии пересечения.

Далее следует определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для отыскания точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от проекции О₂ центра сфер до наибо­лее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до точки A₂.

Чтобы определить радиус наименьшей сферы R_min, необходимо провести через точку О₂ нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а совторой – пересекаться. Если же взять в качестве R_min меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1 – 2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3 – 4 и 5 – 6. Точки Е, F и G, Н пересечения этих ок­ружностей будут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min < R< R_max.

На рис. 1.74 проведена одна дополнительная сфера радиуса R. Она пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 7 – 8 и 9 – 10, аконическую поверхность — по окружностям 11 – 12 и 13 – 14. В пересечении этих окружно­стей получаем точки К, L, М, N и Р, Q, принадлежащие линии пересечения.

Все полученные точки необходимо соединить плавными кривыми линиями с учетом их видимости.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек линии пересечения, следует воспользоваться окружностями одной из пересекающихся поверхностей, содержащих искомые точки. В данном примере удобнее использовать окружности конической поверхности, т. к. они искажаются на плоскости проекций П₁.

1.7.4.2. Способ вспомогательных секущих эксцентрических сфер.

Этот способ можно использовать, если выполняются следующие условия:

- пересекаются две поверхности, которые имеют общую плоскость симметрии;

- каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Рассмотрим пример. Построить линию пересече­ния поверхности тора с конической поверхностью вращения, которые имеют общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 1.75).

По аналогии с предыдущей задачей строим точки А и В пересечения контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Точка А является наивысшей точкой искомой линии, а точка В – наинизшей.

Для построения произвольных точек линии пересечения в данной задаче нельзя воспользоваться способом вспомогательных концентрических сфер: хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i¹ и i² не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i² конической поверхности, можно найти сколько угодно произвольных точек линии пересечения.

Действительно, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i¹, имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i¹. Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут нахо­диться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С¹, С², С³,.... Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О¹, О², О³,... пересечения этих перпендикуляров с осью i² конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

На рис. 1.75 проведены три эксцентрические сферы из центров О¹, О² и О³, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 – 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i¹(i₂¹), и из его центра С¹(С_г¹) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке О¹(О₂¹) пересечения перпендикуляра с осью i²(i₂²) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке О¹(О₂¹) такого радиуса R, чтобы ей принадлежала окружность 3 – 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 – 2, определит в пересечении окружностей 1 – 2 и 3 – 4 искомые точки М и N.

Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М₁ и N₁ точек М и N построены при помощи параллелей j¹ и j² поверхности тора. Точки видимо­сти Р и Q конической поверхности для плоскости P₁ построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i² конуса.