С.В. Асекритова, А.В. Константинов,

С.В. Асекритова, А.В. Константинов,

М.М. Королева, Т.Н. Литвинова,

В.А. Токарев, Ю.П. Шевелев

Учебное пособие

 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ

ГРАФИКА

 

 

Асекритова С. В., Константинов А. В., Королева М. М., Литвинова Т. Н., Токарев В. А., Шевелев Ю. П. Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика: Учебное пособие. Под редакцией Ю. П. Шевелева. - Рыбинск: РГАТА им. П.А. Соловьева, 2008. – 153 с.

 

Учебное пособие в лаконичной форме знакомит с основными разделами графических дисциплин инженерных образовательных программ профессионального высшего образования.

Предназначено для студентов заочной и очно-заочной форм обучения Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П. А. Соловьева по курсам «Инженерная графика», «Инженерная и компьютерная графика», «Начертательная геометрия. Инженерная графика», а также для студентов дневной формы обучения. С помощью учебного пособия возможно самостоятельное изучение выше перечисленных графических дисциплин.

 

Рецензенты: Кафедра начертательной геометрии и графики Ярославского государственного политехнического университета;

ведущий менеджер НПО «Сатурн», к. т. н. Макаров М.В.

 

 

Рекомендовано Научно-методическим Советом по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов обучающихся по направлениям 140000, 150000, 160000 подготовки дипломированных специалистов высшего профессионального образования

 

 

	© С. В. Асекритова, А. В. Константинов, М. М. Королева, Т. Н. Литвинова, В. А. Токарев, Ю. П. Шевелев, 2008 © РГАТА им. П. А. Соловьева, 2008

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................... 7

1. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................................ 9

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ............................................................. 10

1.1. Метод проецирование................................................................... 11

1.2. Способы дополнения проекционного чертежа............................ 14

1.2.1. Проекции с числовыми (высотными) отметками............. 14

1.2.2. Векторные чертежи (Способ Е.С.Федорова).................... 15

1.2.3. Аксонометрические проекции........................................... 15

1.2.4. Комплексный чертеж......................................................... 17

1.3. Комплексный чертеж линейных геометрических объектов......... 19

1.3.1. Комплексный чертеж точки............................................... 19

1.3.2. Комплексный чертеж прямой............................................ 20

1.3.3. Комплексный чертеж плоскости........................................ 22

1.4. Взаимное положение линейных геометрических объектов......... 26

1.4.1. Взаимное положение точки и прямой............................... 26

1.4.2. Взаимное положение двух прямых................................... 26

1.4.3. Взаимное положение прямой и плоскости........................ 27

1.4.4. Взаимное положение точки и плоскости........................... 29

1.4.5. Взаимное положение плоскостей...................................... 30

1.5. Кривые линии и поверхности....................................................... 31

1.5.1. Кривые линии и их поверхности....................................... 31

1.5.2. Образование и задание поверхностей на чертеже............ 33

1.5.3. Поверхности вращения...................................................... 34

1.5.4. Линейчатые поверхности................................................... 36

1.5.5. Поверхности второго порядка.......................................... 39

1.5.6. Циклические поверхности................................................. 40

1.6. Взаимное положение линии и поверхности................................. 41

1.6.1. Построение касательной к поверхности........................... 41

1.6.2. Пересечение линии с поверхностью.................................. 42

1.7. Взаимное положение поверхностей.............................................. 43

1.7.1. Плоскость, касательная к поверхности............................. 44

1.7.2. Взаимное пересечение поверхностей................................ 44

1.7.3. Построение линии пересечения поверхностей

способом вспомогательных секущих плоскостей.................... 46

1.7.4. Построение линии пересечения поверхностей

способом вспомогательных секущих сфер............................... 47

1.7.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго

порядка....................................................................................... 51

1.8. Способы преобразования комплексного чертежа....................... 54

1.8.1. Способ замены плоскостей проекций............................... 54

1.8.2. Плоскопараллельное перемещение объекта..................... 58

1.8.3. Способ дополнительного проецирования........................ 64

2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ.................................................... 66

2.1. Основные правила оформления чертежей................................... 66

2.1.1. Форматы............................................................................. 66

2.1.2. Масштабы............................................................................ 67

2.1.3. Линии.................................................................................. 67

2.1.4. Шрифты чертежные........................................................... 68

2.2. Основные правила выполнения чертежей.................................... 71

2.2.1. Виды................................................................................... 71

2.2.2. Разрезы................................................................................ 75

2.2.3. Сечения............................................................................... 84

2.2.4. Выносные элементы........................................................... 87

2.3. Графическое обозначение материалов в сечениях и правила их

нанесения на чертеже............................................................................ 88

2.3.1. Условности и упрощения................................................... 90

2.4. Аксонометрические проекции....................................................... 93

2.4.1. Прямоугольные проекции................................................. 94

2.4.2. Косоугольные проекции.................................................... 95

2.4.3. Аксонометрические изображения с вырезами.................. 96

3. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА.......................................................... 98

3.1. Стадии разработки проектных и рабочих конструкторских

документов изделий.............................................................................. 98

3.2. Сведения о конструкторских документах изделий...................... 99

3.3. Понятие о чертеже и эскизе детали............................................... 100

3.3.1. Содержание чертежа и эскиза........................................... 100

3.3.2. Выбор изображений.......................................................... 100

3.3.3. Чертеж детали типа «колесо зубчатое»............................ 102

3.3.4. Чертеж детали, заготовка для которой изготовлена

литьем или штамповкой................................................................ 104

3.4. Изображение на чертежах соединений деталей.......................... 105

3.4.1. Изображение и обозначение резьбы................................. 105

3.4.2. Обозначение стандартных деталей.................................. 110

3.4.3. Изображение разъемных соединений............................... 112

3.4.4. Изображение неразъемных соединений............................ 115

3.5. Сборочные чертежи и чертежи общего вида изделий

машиностроения................................................................................... 116

3.5.1. Сборочные чертежи........................................................... 116

3.5.2. Нанесение размеров на сборочных чертежах.................. 117

3.5.3. Последовательность разработки сборочного чертежа.... 117

3.5.4. Обозначение чертежей деталей, сборочных единиц и

чертежей изделий.......................................................................... 119

3.5.5. Условности и упрощения на сборочных чертежах и

чертежах общего вида.................................................................. 119

3.5.6. Спецификация.................................................................... 120

3.5.7. Чертеж общего вида........................................................... 121

3.6. Чтение и деталирование чертежа общего вида............................ 122

3.6.1. Чтение чертежа общего вида............................................. 122

3.6.2. Деталирование чертежа общего вида............................... 123

4. КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА.................................................... 125

4.1. Основные положения автоматизации разработки и выполнения

проектно-конструкторских графических документов....................... 125

4.1.1. Автоматизация разработки и выполнения

конструкторской документации................................................... 125

4.1.2. Структура и основные принципы построения системы

АКД 125

4.1.3. Подходы к конструированию........................................... 127

4.1.4. Методы создания моделей ГО и ГИ.................................. 128

4.2. Функции пакета программ компьютерной графики.................... 129

4.2.1. Формирование элементов графических изображений..... 130

4.2.2. Преобразования................................................................. 130

4.2.3. Управление отображением и организация окон.............. 130

4.2.4. Сегментация изображений................................................. 131

4.2.5. Ввод данных пользователем............................................. 131

4.3. Построение геометрических фигур............................................... 131

4.3.1. Использование графических элементов............................ 131

4.3.2. Определение графических элементов............................... 132

4.4. Редактирование геометрических моделей.................................... 134

4.5. Примитивы..................................................................................... 134

4.5.1. Классификация примитивов в современной

компьютерной графике................................................................. 134

4.5.2. Пример формирования примитива................................... 135

4.6. Способы ввода координат точек................................................... 135

4.6.1. Ввод координат.................................................................. 135

4.6.2. Декартовы и полярные координаты................................. 135

4.6.3. Задание точек методом «направление-расстояние»......... 136

4.6.4. Задание трехмерных координат........................................ 137

4.6.5. Правило правой руки........................................................ 137

4.6.6. Ввод трехмерных декартовых координат........................ 138

4.6.7. Задание цилиндрических координат................................. 138

4.6.8. Задание сферических координат....................................... 139

4.6.9. Координатные фильтры.................................................... 139

4.6.10. Ввод точек с использованием объектной привязки.......... 139

4.7. Режимы........................................................................................... 141

4.8. Пользовательская система координат.......................................... 142

4.8.1. Задание пользовательской системы координат................ 142

4.8.2. Задание пользовательской системы координат в

пространстве................................................................................. 142

4.9. Пространство и компоновка чертежа........................................... 143

4.9.1. Пространство модели........................................................ 143

4.9.2. Пространство листа........................................................... 144

4.9.3. Видовые экраны................................................................. 144

4.10. Слои............................................................................................. 145

4.10.1. Разделение рисунка по слоям............................................ 145

4.10.2. Свойство слоев................................................................... 145

4.11. Отображение на экране............................................................... 146

4.11.1. Зумирование....................................................................... 146

4.11.2. Панорамирование.............................................................. 147

4.11.3. Объектная привязка координат......................................... 147

4.11.4. Отслеживание..................................................................... 147

4.12. Автоматизация разработки выполнения конструкторской

документации........................................................................................ 148

4.13. Важность трехмерной геометрии............................................... 150

4.14. Библиографический список.......................................................... 152

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие написано преподавателями кафедры графики Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П. А. Соловьева. Оно отображает систему и методику преподавания начертательной геометрии и инженерной графики, которые сложились на кафедре графики на протяжении пятидесяти лет ее существования.

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит «Начертательная геометрия и инженерная графика». Это утверждение основано на том факте, что инженер по роду своей профессии призван заниматься конструированием новых изделий, а конструирование - это процесс создания норм в виде конструкторских документов, пользуясь которыми можно изготовить изделия, выполняющие заданные функции в определенных эксплуатационных условиях.

Таким образом, продуктом труда инженера является комплект конструкторских документов, основу которых составляют графические конструкторские документы, называемые чертежами.

Дисциплина «Начертательная геометрия и инженерная графика» предназначена для изучения способов разработки конструкторских документов изделий в соответствии с существующими требованиями. Условно эта дисциплина разделена на две части:

- теоретическую, включающую начертательную геометрию и проекционное черчение;

- практическую, включающую инженерную и компьютерную графику.

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, в котором пространственные формы предметов действительного мира и соответствующие геометрические закономерности изучаются при помощи изображений на плоскости.

Это не случайно. Дело в том, что потребность в изображениях появилась уже в первобытном обществе. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения на камнях и скалах, на предметах и орудиях первобытного человека, сохранившиеся до нашего времени. В дальнейшем развитие производственной деятельности человека поставило перед ним задачу более точного изображения пространственных предметов (объектов) на плоскости. Строительство крепостей и других сооружений требовало предварительного составления их изображений, а в дальнейшем чертежей.

С некоторых пор изготовление любого предмета (изделия) начинается с разработки его чертежей, которые должны позволить рабочему определить не только форму и размеры всех составных частей изделия, но и получить наглядное представление о нем, сведения о материалах и способах их обработки.

Таким образом, в отличие от изображения чертеж должен иметь дополнительные сведения, с помощью которых можно изготовить изделие, изображенное на чертеже. Для целей правильной разработки чертежей служит вторая, практическая, часть данной дисциплины, которую называют инженерная графика.

Инженерная графика изучает способы разработки конструкторских документов (чертежей) с использованием методов начертательной геометрии и требований к их оформлению, регламентированных государственными стандартами Единой системы конструкторской документации (ЕСКД).

Проектирование изделий машиностроения и электроники вступило в новый этап своего развития, когда при возрастающей сложности проектов сокращение сроков на проектирование и уменьшение числа разработчиков стало обеспечиваться за счет автоматизации проектирования на базе компьютеризации инженерного труда. В связи с этим широкое использование получают системы автоматизированного проектирования (САПР), позволяющие конструктору при выработке проектных решений вести диалог с ЭВМ на естественном для инженера языке компьютерной графики.

Возможности САПР и компьютерной графики изменяют общепринятую технологию решения задач разработки новых изделий. Творческое начало, вносимое разработчиком, в совокупности со способностью компьютера быстро и безошибочно обрабатывать огромное количество информации и выдавать ее в наглядной, компактной форме - основное преимущество таких систем автоматизированного проектирования. Оперативный обмен графической информацией, полученной с помощью методов компьютерной графики, существенно увеличивает активность инженеров-разработчиков.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Создатель начертательной геометрии как науки знаменитый французский геометр и инженер времен Великой французской революции Гаспар Монж (1746 - 1818) заявлял, что «чертеж является языком техника». Дополняя высказывание Монжа, профессор В. И. Курдюмов (1853 - 1904) – автор классического русского учебника «Курс начертательной геометрии» - говорил: «Если чертеж является языком техника, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, т. к. она учит нас правильно читать чужие мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всего изображения».

Содержание начертательной геометрии сводится к изучению следующих трех основных задач:

- разработка способов отображения объектов трехмерного пространства в виде изображений на двумерной плоскости;

- изучение способов решения и исследования пространственных задач при помощи изображений на плоскости;

- применение способов начертательной геометрии к исследованиям теоретических и практических вопросов науки и техники.

Изображения (чертежи) позволяют непосредственно изучать объекты и решать задачи, связанные с ними. При этом имеется в виду, что проведенные в плоскости чертежа построения отражают соответствующие операции в пространстве.

Законы начертательной геометрии дают возможность изображать не только существующие, но и воображаемые предметы, поэтому изучение этой науки способствует развитию пространственного воображения – умению человека мысленно представить форму, размеры, пропорции отдельных частей и другие качества различных объектов, изображенных на чертежах. Такое исключительное значение изображений на чертежах обуславливает ряд требований, предъявляемых к ним:

- чертеж должен быть наглядным, т. е. он должен вызывать пространственное представление изображенного предмета;

- чертеж должен быть обратимым, т. е. таким, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму, размеры и положение в пространстве изображенного предмета;

- чертеж должен быть достаточно простым с точки зрения его графического выполнения;

- графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

Легко понять, что не всякое изображение объекта на листе бумаги позволяет точно определить его геометрические свойства. Для этого необходимо, чтобы изображение объекта было построено по определенным геометрическим правилам, позволяющим от плоских и, следовательно, искаженных форм на чертеже переходить к натурным пространственным формам изображенного предмета.

Такое геометрически закономерное изображение пространственного объекта на плоскости достигается при помощи метода проецирования, который является основным методом в начертательной геометрии и инженерной графике.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А. Геометрических объектов

1. Точки, расположенные в пространстве (в натуре), обозначаются прописными буквами или цифрами латинского алфавита: A, B, C, D, E, …, 1, 2, 3, 4, ….

2. Прямые и кривые линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, в натуре – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ….

3. Линии уровня в натуре – следующими буквами: h – горизонтали, f – фронтали.

4. Плоскости и поверхности в натуре – прописными буквами греческого алфавита: Γ, Δ, Λ, Ξ, Π, Σ, Τ, Ψ, ….

5. Углы – строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, ….

6. Плоскости проекций - буквой П с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, 4, 5, …, например: П₁, П_2, ….

7. Проекции точек, прямых, плоскостей и других объектов обозначаются теми же буквами, что и натура, с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, 4, 5, …, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены, например: на плоскости П₁ – A₁, a₁, Γ₁, β₁, ….

8. Натуральная система координат обозначается через Oxyz;

9. Аксонометрические проекции точек, прямых, плоскостей и других объектов обозначаются теми же буквами, что и натура, с добавлением знака штрих над буквой, например: П’, A’, a’, Γ’, β’, ….

МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Все события окружающего нас мира происходят в пространстве. Пространство, в котором мы живём, называют физическим пространством. Когда же, пытаясь размышлять о нем, мы вырабатываем определенные понятия, возникает геометрическое пространство. Первое - исходный объект, второе - его образная модель.

В физическом пространстве нет точек, линий и поверхностей, а есть тела, предметы и другие объекты окружающего нас мира. В геометрическом пространстве наоборот: тела существуют лишь постольку, поскольку они формируются точками, линиями и поверхностями.

Пространство заполнено точками. Точка - это элементарный объект, т. к. она не может быть определена другими более элементарными понятиями.

Из точек складываются линии, в частности прямые линии. Из линий – поверхности, в частности «прямые» поверхности, т. е. плоскости.

В начертательной геометрии при получении изображений объектов необходимо, чтобы каждой точке пространства соответствовала точка на плоскости. Исходя из этого, при использовании метода проецирования (от латинского слова «projecere» - бросать вперед) через каждую точку объекта проводится линия до пересечения с плоскостью изображения.

В зависимости от вида проецирующей линии (прямая, кривая) различают аппарат прямолинейного или криволинейного проецирования. В данном учебном пособии излагается метод прямолинейного проецирования.

Проведение проецирующих прямых должно подчиняться определенному закону:

- если проецирующие прямые проходят через одну точку пространства, то имеем центральное проецирование;

- если проецирующие прямые проводятся параллельно какому-нибудь направлению, то получим параллельное проецирование.

При центральном проецировании аппарат проецирования(рис. 1.1) состоит:

- из плоскости П₁, называемой плоскостью проекций;

- из точки S, называемой центром проекций.

Чтобы спроецировать точку A пространства на плоскость П₁, проводим через нее и центр проекций S проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций П₁. Получим точку A₁, которую называют центральнойпроекциейточки А.

Если на проецирующем луче А₁S взять другую точку В, то ее центральная проекция В₁ совпадает с А₁. Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию любой точки, но, имея центральную проекцию точки, нельзя по ней однозначно определить положение самой точки в пространстве.

Каждую пространственную фигуру можно рассматривать как совокупность (множество) точек. Однако, для построения проекции фигуры в некоторых случаях не обязательно проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка прямой линии АС вполне определяется проекциями двух точек А₁ и С₁ (рис. 1.1).

Центральная проекция обладает следующими свойствами.

1. Проекцией точки является точка (однозначность).

2. Проекцией прямой является прямая (коллинейность).

3. Точка (например М), принадлежащая прямой, проецируется в точку (М₁), принадлежащую проекции этой прямой (инцидентность).

Изображения объектов, полученных методом центрального проецирования, отличаются большой наглядностью, но они сложны при построении. Поэтому большее распространение получило параллельное проецирование.

Параллельной проекцией точки А является точка А₁ проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению S до пересечения с плоскостью проекций П₁ (рис. 1.2).

Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, например m (рис.1.2), можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию m₁.

Параллельная проекция, являясь частным случаем центральной проекции, сохраняет все ее свойства. В то же время, параллельные проекции обладают свойствами, отличающими ее от центральной проекции.

4. Если прямые параллельны (например l и m на рис. 1.2), то при параллельном проецировании их проекции (l₁ и m₁) или параллельны, или совпадают, или обе прямые проецируются в точки.

5. Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. Например, если точка B ( рис. 1.2) принадлежит отрезку АC, то при параллельном проецировании выполняется простое отношение трех точек:

 

.

Еще большее упрощение построения изображения дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций П₁. _.

В ортогональной проекции просто устанавливается соотношение между длиной натурального отрезка и длиной ее проекции. Это соотношение является шестым свойством линейного параллельного ортогонального проецирования.

6. Если отрезок АВ образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя ( рис. 1.3), получим из прямоугольного треугольника АВ*В:

AB* = AB cos α

или A₁B₁ = AB cos α.

Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно отображать любую точку (и все множество точек) пространства на плоскость проекций, при этом обратную задачу по реконструкции объекта в пространстве решить не представляется возможным.

Так как проекционные изображения должны отвечать требованию обратимости, то возникла задача по дополнению однокартинных проекционных изображений необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения.

Аксонометрические проекции

Аксонометрическое изображение объекта приобретает обратимость за счет отнесения последнего к некоторой прямоугольной системе координат и дальнейшего проецирования этого объекта на плоскость проекций вместе с системой координат.

Рассмотрим на примере способ построения аксонометрических проекций (рис. 1.6).

В пространстве имеется объект – точка А. Свяжем жестко эту точку с тремя взаимно перпендикулярными осями декартовой системы координат Oxyz, которую в данном случае называют натуральной системой координат. В качестве единицы измерения, общей для всех трех осей, примем отрезок e, который называется натуральным масштабом.

Для определения положения точки в пространстве строят координатную ломанную линию OA_xA₁A. Измеряя отрезки этой ломанной натуральным масштабом отрезком e, получаем натуральные координаты точки A(A_x,A_y,A_z).

Спроецируем теперь точку А вместе с осями координат Oxyz по направлению S на некоторую плоскость проекций П’, которую называют аксонометрическойплоскостьюпроекций. Проекции геометрических элементов на плоскость П’ называют аксонометрическими:

A’ – аксонометрическая проекция точки А;

O’x’y’z’ – аксонометрическая система координат;

O’A’_xA’₁A’ – аксонометрическая координатная ломаная линия;

A’₁ - вторичная проекция точки А;

e’_x ,e’_y ,e’_z – аксонометрические масштабы.

В общем случае проекции e’_x ,e’_y ,e’_z натурального масштаба e различны, т. е. для каждой оси получается свой аксонометрический масштаб.

Для определения точки А на аксонометрической проекции недостаточно иметь только ее аксонометрическую проекцию A’. Нужно также иметь ее вторичную проекцию A’₁, причем прямая A’₁ A’ должна быть параллельна аксонометрической оси z’ (рис. 1.7).

Имея точки A’ и A’₁, можно провести через точку A’₁ прямую, параллельную y’, в пересечении которой с осью x’ получим точку A’_x, и проекция аксонометрической координатной ломаной O’A’_x A’₁ A’ будет определена.

Если измерить аксонометрические координатные отрезки O’A’_x, O’A’_y, O’A_z натуральным масштабом е, то получим аксонометрические координаты точки А:

,

которые, в общем случае, отличаются от натуральных координат.

Если измерить отрезки аксонометрической координатной ломаной O’A’_xA’₁A’ аксонометрическими масштабами e’_x ,e’_y ,e’_z, то получим натуральные координаты точки А:

,

т. к. при параллельном проецировании натуральные координатные отрезки и натуральные масштабы по осям искажаются одинаково по каждой оси.

Таким образом, аксонометрическая проекция, являясь однокартинным изображением объекта, обладает свойством обратимости, т. к. позволяет определить положение объекта (в нашем случае точки А) относительно натуральной системы координат Oxyz.

Комплексный чертеж

Проецирование объекта на две или более плоскости проекций позволяет однозначно определить положение его точек в пространстве. Получаемый при этом чертеж объекта называют комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип построения комплексного чертежа состоит в том, что объект проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Одна из плоскостей проекций П₁ располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций (рис. 1.8). Плоскость П₂ располагается вертикально, ее называют фронтальной плоскостью проекций. Плоскости П₁ и П₂ бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций и обозначается x₁₂. Плоскости проекций делят пространство на четыре двухгранных угла – четверти, нумерация которых приведена на рис. 1.8.

При ортогональном проецировании считают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость проекций является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость проекций.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П₁ и П₂ какую-нибудь точку А, тогда получим:

А₁ – горизонтальную проекцию точки А на плоскости П₁;

А₂ – фронтальную проекцию точки А на плоскости П₂.

Множество проекций точек пространства на каждой из плоскостей проекций называется полем проекций.

Чтобы получить плоский чертеж, поле проекций на П₁ поворачивается на 90^° до совмещения с полем проекций на П₂ (рис. 1.9). Убрав искусственные границы плоскостей П₁ и П₂ (эти плоскости безграничны, на рис. 1.9 границы даны для наглядности), получаем комплексный чертеж точки А (рис. 1.10), где:

А₁ А₂ – линия проекционной связи – прямая, перпендикулярная оси проекций x₁₂;

|А₁ А_х| – глубина точки А – расстояние от нее до фронтальной плоскости проекций П₂;

|А₂ А_х| – высота точки А – расстояние от нее до горизонтальной плоскости проекций П₁.

Полученный комплексный чертеж обладает свойством обратимости, т. е. по нему можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. Применительно к нашему случаю (рис. 1.10) надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А₂ и от плоскости чертежа отложить глубину | А₁ А_х| искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А.

Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Гаспара Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций. Поэтому при разработке комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и получить безосный комплексный чертеж (рис. 1.11.)

Комплексный чертеж точки

Положение проекций точек на поле проекций комплексного чертежа зависит от того, в какой четверти и на каком расстоянии от плоскостей проекций находится данная точка. Так, если точка А расположена во второй четверти (рис 1.12), то после совмещения плоскостей проекций на комплексном чертеже обе проекции точки окажутся лежащими над осью проекций х₁₂ (рис. 1.13).

Если точка В находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция на комплексном чертеже окажется над осью проекций, а фронтальная – под осью. Наконец, если точка С расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью х₁₂.

Встречаются случаи, когда точки занимают некоторые частные (особые) положения, а именно принадлежат плоскостям проекций. При этом, если точка принадлежит только одной плоскости проекций, то на комплексном чертеже одна из проекций совпадает с самой точкой, а другая проекция точки принадлежит оси проекций. Это хорошо видно на примере точки D (рис. 1.12 и 1.13). Если же точка принадлежит обеим плоскостям проекций (точка Е), то на комплексном чертеже обе проекции совмещаются с самой точкой и принадлежат оси х₁₂.

Большой практический интерес представляют случаи взаимного положения двух точек, когда их одноименные проекции на комплексном чертеже совпадают. Так точки F и K на рис. 1.12 расположены на одном перпендикуляре (луче проекций) к горизонтальной плоскости проекций, и поэтому их горизонтальные проекции совпадают (рис. 1.13). Такие точки называются горизонтальноконкурирующими. Точка F выше точки К, т. е. F ближе к наблюдателю, а следовательно, на комплексном чертеже горизонтальная проекция точки F₁ будет видна, а К₁ – невидна. На комплексных чертежах невидимые точки принято заключать в круглые скобки.

Точки М и N рисунке 1.12 расположены на одном перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальные проекции этих точек совпадают (рис. 1.13). Такие точки называют фронтальноконкурирующими. Точки М находится ближек наблюдателю, чем точка N, а следовательно, фронтальная проекция последней N₂ будет невидна.