Зведення крайових задач до задач Коші

Подамо крайову задачу із виразів (8.46) і (8.47) для диференціального рівняння m- го порядку у вигляді:

; (8.48)

, (8.49)

де L – диференціальний оператор, а a _ij, b _ij, g _j – сталі.

Задачу (8.48), з умовою (8.49) найпростіше звести до задачі Коші, якщо L – лінійний диференціальний оператор

У цьому випадку розв’язок шукають у вигляді

, (8.50)

де z_k (x) знаходять з (m + 1) задачі Коші

(8.51)

Після розв’язання задач Коші (8.51) на відрізку [0, l ], вираз (8.52) підставляють у вираз (8.49) і одержують СЛАР з m рівнянь відносно m невідомих c_k, . Розв’язавши СЛАР з (8.50), знаходять розв’язок задач (8.48) з умовою (8.49).

Наприклад:

Шукаємо розв’язок у вигляді

,

де – розв’язок неоднорідної задачі Коші з нульовими початковими умовами, а – розв’язки однорідних задач Коші з ненульовими початковими умовами відповідно до (8.51).

Із розв’язків задач Коші на відрізку [0, 1]

отримуємо . Далі знаходимо сталі c ₁ та c ₂.

З першої крайової умови маємо

.

З другої умови:

.

Якщо L – нелінійний диференціальний оператор, то для зведення крайової задачі до задачі Коші застосовують метод «стрільби». Для цього розв’язок y (x) шукають у вигляді

y = z (x),

де z (x) – розв’язок задачі Коші

; (8.52)

(8.53)

Значення z_i у початковій умові (8.52) підбирають такими, щоб задовольнити (8.49). У цьому випадку крайові умови (8.49) разом з (8.49) і (8.53) утворюють систему m нелінійних рівнянь щодо m невідомих . Останній розв’язок (8.52) і є розв’язком задачі (8.48) з умови (8.49).

Наприклад: Припустимо, що потрібно розв’язати задачу

за умов:

Можна застосувати такий ітераційний метод:

1) вибирати x, що апроксимує , тобто покласти

2) розв’язати задачу Коші:

3) якщо , де e – задана похибка, то покласти у противному випадку – змінити x (виконати ітерацію розв’язку нелінійного рівняння) і повернутися до пункту 2).

 

Метод скінчених різниць

Поширеним методом розв’язання крайових задач є метод скінчених різниць (МСР). В основі МСР лежить апроксимація похідних в операторі L (8.48) і в крайових умовах (8.49) скінченими різницями, а неперервної функції f (x) – сітковою функцією, визначеною у вуз­лах відрізка [0, l ]. Розглянемо найпростіший випадок, коли вузли сіткової функції – рівновіддалені. Для цього відрізок [0, l ] ділять на n ³ m +1 рівних відрізків вузлами x ₀ = 0, x ₁ = x ₀ + h, x ₂ = x ₀ + 2 h,…, x_n = x ₀ + nh. Розв’язання задачі (8.48) за (8.49) зводиться до визначення значень функцій у вузлах y_i = y (x_i).

Один зі способів різницевої апроксимації похідних побудований на диференціюванні інтерполяційних формул. Так, для одержання скінченнорізницевої апроксимації похідної будуємо інтерполяційний поліном Лагранжа , який проходить через k + 1 точку …, ,…, , .

Тоді

Похибка такої апроксимації оцінюється як ,

де

 

Як приклад знайдемо скінчено різницеву апроксимацію першої і другої похідних функції y (x) у точці x = x_i, побудовану в трьох точках. Побудуємо поліном Лагранжа, що проходить через точки (x_{i -1}, y_{i- 1}), (x_i, y_i), (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}):

.

Тоді

;

.

Похибкою цих апроксимацій є 0(h ²).

У методі скінчених різниць диференціальне рівняння (8.48) заміняється скінчено різницевими рівняннями, записаними для n – m + 1 внутрішнього вузла відрізка [0, l ]. Граничні умови (8.49) заміняються m скінчено різницевими рівняннями. У підсумку одержуємо СЛАР з n + 1 рівняння відносно n + 1 невідомих . Похибка розв’язку методом скінчених різниць відповідає найбільшій похибці апроксимації похідних у (8.48), (8.49).

Наприклад:

Точний розв’язок:

.

Поділимо відрізок [0, 1] на три рівні відрізки. Тоді .

Шукаємо

Використовуючи скінчено різницеву апроксимацію , запишемо скінчено різницеве рівняння для вузлів :

.

З крайових умов:

Одержимо систему чотирьох рівнянь стосовно чотирьох невідомих . Розв’язуючи її, одержимо:

 

 

Контрольні завдання

1. Вибрати задачі Коші відповідно до свого варіанта.

2. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Ейлера з похибкою не більше 5 %.

3. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Рунге – Кутта 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

4. Розв’язати одновимірну задачу Коші явним методом Адамса 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

5. Розв’язати одновимірну задачу Коші методом Гіра 4-го порядку з похибкою не більше 5 %.

6. Порівняти результати пп. 1 – 5.

7. Розв’язати систему ЗДР методом Ейлера. Оцінити похибку розв’язку.

Варіанти завдань