Інтерполяційні формули Ньютона

Формула Ньютона дає змогу виразити інтерполяційний поліном P_n (x) через значення y_i в одному з вузлів та через розділені різниці функції f (x), побудованими за іншими вузлами x ₀, x ₁,…, x_n. Вона є аналогом формули Тейлора.

Розділеними різницями першого порядку називають відношення

.

Розглянемо розділені різниці, побудовані за сусідніми вузлами, тобто вирази . За цими розділеними різницями можна побудувати різниці другого порядку, за різницями другого порядку – різниці третього порядку і т. д:

Розглянемо розділену різницю . Звідси знаходимо

.

Аналогічно:

.

Скориставшись цим виразом, записуємо інтерполяційну формулу

 

(7.9)

Позначивши ; ; ; ; тоді формула (7.9) набуває вигляду

(7.10)

- перша інтерполяційна формула Ньютона.

Формулу (7.10) називається формулою Ньютона інтерполювання вперед, оскільки формула містить значення y, що знаходяться справа від x ₁. Аналогічним чином можна побудувати формулу Ньютона використовуючи вузли, що знаходяться зліва від x_n:

(7.11)

Позначивши , дістанемо ; ; тоді формула (7.11) набуває вигляду:

(7.12)

Формула (7.12) називають другою інтерполяційною формулою Ньютона. Її зручно використовувати для інтерполяції функції у точках, близьких до кінця таблиці.

Залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (7.13)

де - деяке проміжне значення між вузлами інтерполяції і розглянутою точкою .

Оцінка абсолютної похибки функції визначається за формулою:

, (7.14)

де .

Для другої інтерполяційної формули Ньютона залишковий член має вигляд:

, (7.15)

а абсолютна похибка функції дорівнює:

, (7.16)

де .

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	0,405 0,470 0,531 0,588 0,642	0,065 0,061 0,057 0,054	-0,004 -0,004 -0,003

Наприклад: В таблиці 7.2 всі значення функції наведені з правильними значущими цифрами. Потрібно обчислити значення , та оцінити похибку результату. Таблиця 7.2.

Розв’язання.

В даному прикладі шаг інтерполяції постійний . Значення знаходиться ближче до початку таблиці, отже будемо користуватися першою формулою Ньютона. Позначимо . Користуючись формулою (7.10) маємо:

, де . Підставивши значення отримаємо .

Похибку результату оцінюємо за формулою (7.14).

Оскільки для всіх , то візьмемо , тоді:

.

 

Інтерполяція сплайнами

Нехай функцію задано табл. 7.3 і треба побудувати сплайн-інтер­поляцію цієї функції.

Таблиця 7.3.

y

 

За допомогою сплайнів функцію можна подати у вигляді

Для побудови сплайн-інтерполяції визначають невідомі коефіцієнти a₀₁, a₀₂,…a_mn. Якщо функція інтерполюється на n інтервалах за допомогою поліномів порядку m, то кількість таких невідомих буде (m + 1)n. Для їх визначення потрібно (m + 1)n рівнянь. Щоб отримати необхідну кількість рівнянь, можна скористатися умовами рівності функції табличним значенням у вузлах інтерполяції. Ці умови дадуть 2_n рівнянь, чого вистачить для інтерполяції сплайнами першого порядку (лінійними сплайнами, m = 1). Для інтерполяції сплайнами другого порядку (параболічними сплайнами, m = 2) ці рівняння необхідно доповнити умовою неперервності першої похідної. Це дасть ще (n – 1) рівняння. Отриману систему треба доповнити ще одним рівнянням. Наприклад, можна задати поведінку функції на одному з кінців інтервалу (наприклад, рівність причому похідна функції обчислюється числовим методом на основі табличних значень функції). У разі інтерполяції кубічними сплайнами систему рівнянь необхідно доповнити ще n рівняннями. Для цього можна поставити вимогу неперервності другої похідної функції, що дасть (n – 1) рівняння.

Останнє рівняння отримують, задавши поведінку функції на другому (незадіяному) кінці відрізка. На практиці часто задають однакові умови на кінцях інтервалу. Як правило, це умова гладкості функції на кінцях ().

Наприклад: Проведемо кубічну інтерполяцію функції, заданої в табл. 7.2.

На кожному і -му відрізку:

,

, .

Побудуємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів. З умови рівності функції табличним значенням у вузлових точках маємо:

(7.17)

З умови неперервності першої та другої похідних функцій:

(7.18)

З умови гладкості функції:

(7.19)

Розв’язавши рівняння (7.17) –(7.19), отримаємо:

Тоді функція має вигляд

 

Контрольні завдання

1. Вибрати табличну функцію відповідно до свого варіанта.

2. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для заданої функції.

3. Побудувати інтерполяційний поліном Ньютона для заданої функції.

4. Побудувати кубічну інтерполяційну формулу заданої функції.

5. Побудувати графіки, нанести на них точки таблиці та порівняти отримані результати.

Варіанти завдань

	x	-3	-2	-1				x	-3	-2	-1
y	-27.0	-12.0	-5.0	-3.0		y	11.0	3.0		-3.0
	x	-3	-2	-1				x	-3	-2	-1
y	-6.5		1.5	6.0		y	19.0	5.0	-1.0	-5.0
	x	-3	-2					x	-3	-2
y	-9.5	-3.0	-2.0	-1.5		y	-5.5	-8.0	-4.0	-8.0
	x	-3	-2					x	-3	-2
y	-3.5		-2.0	17.5		y	9.0	3.0	3.0	-1.0
	x	-3	-2					x	-3	-2
y	-0.5	2.0	-2.5	14.5		y	-5.5	-8.0	-8.0	-2.5
	x	-3	-1					x	-3	-1
y	-1.0	3.0	2.0	3.0		y	15.0	2.0	3.0	5.0
	x	-3	-1					x	-3	-1
y	-12.0	3.0	3.0	9.0		y	-9.5	-2.5	0.5	8.0
	x	-3	-1					x	-3	-1
y	-2.5	-4.5	-4.5	3.5		y	-17.0	-2.0	-2.0	4.0
	x	-3						x	-3
y	0.0	3.0	2.0	5.0		y	-17.0	4.0	3.0	7.0
	x	-3						x	-3
y	7.5	3.0	0.0	-1.5		y	6.5	2.5	-1.0	-11.5
	x	-2	-1					x	-2	-1
y	-7.0	-3.0	-3.0	-4.0		y	5.0	3.5	4.0	-1.0
	x	-2	-1					x	-2	-1
y	1.0	1.0	-1.0	11.0		y	7.0	5.5	2.5	7.0
	x	-2	-1					x	-2	-1
y	-4.0	-0.5	-2.5	3.5		y	8.0	5.0	-4.0	-17.0
	x	-2						x	-2
y	6.0	3.0	3.0	8.0		y	-1.0	-3.0	-2.5	7.5
	x	-2						x	-2
y	-2.0	-2.0	-6.0	-17.0		y	-8.0	-6.5	-8.0	-5.5