Аналитическое моделирование полета зерна с транспортера

 

В качестве примера рассмотрим решение задачи моделирования «Полет зерна», позволяющее описать полет зерна, брошенного под углом к горизонту, например, с транспортера, рис.8.9. Такие задачи необходимо решать ри выборе, например, угла наклона метательного транспортера.

Постановка задачи моделирования. Сформулируeм требования к модели и исходные данные для моделирования. Модель должна позволять вычислять положение зерна в любой момент времени.

Исходные данные:

- масса зерна m,

- начальные координаты x₀,y₀,

- начальная скорость v₀;

- угол броска α₀ - угол, под которым стоит транспортер.

Концептуальная формулировка задачи. На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к нашей задаче движение отдельного зерна может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы, принятие для модели:

- зерно будем считать материальной тонкой массой m, положение которой совпадает с центром масс зерна;

- движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением
свободного падении g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

- движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли;

- сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.

В качестве параметров движения будем использовать координаты (x, у) и скорость v(v_x, v_у) центра масc зерна. Концептуальная постановка задачи на основе принятых гипотез заключается в определении закона движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки x₀ и у₀, ее начальная скорость v₀ и угол броска α₀.

 

Рис.8.9- Полет зерна с транспортера: T- транспортер; m - масса зерна; g - ускорение свободного падения; x, y - координаты полета зерна; v - скорость полета зерна; F - сила сопротивления воздуха; α₀ – угол броска.

 

Объект, как материальная точка, не имеет внутренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он допустим, если зерно не подкручивается при броске. Пренебрежение сопротивлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систематической ошибке результатов моделирования.

Построение математической модели.

Теперь перейдём к составлению математической модели объекта — совокупности математических соотношений, описывающих его поведение и свойства. Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются уравнения модели.

По оси х на зерно не действуют никакие силы, по оси у действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси х и оси у:

m * d²x/dt² = 0,

m * d²y/dt² = -m*g,

v_x = dx/dt, v_у = dy/dt (8.14)

при следующих начальных условиях: x(0)= x₀, y(0)=y₀, v_x= v₀*cos α₀, v_y=α₀ v₀*sin α₀ необходимо найти зависимости x(t), y(t), v_x (t), v_y (t).

Математическая постановка решения задачи в нашем случае соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна.

Выбор метода решения. Эта задача может быть решена как аналитически, так и численно.

Аналитическое решение. Из (10..1) запишем систему ОДУ первого порядка:

dv_x/dt =0,

dv_y/dt = -g,

v_x,= dx/dt,

v_у,= dy/dt. (8.15)

Надо найти зависимости x(t), y(t), v_x (t), v_y (t). После интегрирования получим:

v_x (t)= C₁,

v_y (t)= C₂ - g*t,

x(t)= C₃ +C₁*t,

y(t)= C₄ +C₂*t - g*t²/2. (8.16)

Определим константы интегрирования из начальных условий и запишем:

x(t)= x₀ + v₀*cos α₀,

y(t)= y₀ + v₀*sin α₀ *t -g*t²/2,

v_x= v₀*cos α₀,

v_y = v₀*sin α₀ -g*t. (8.17)

Из аналитического решения вытекает, что полет зерна при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета вверх и вниз симметрична. Необходимые для расчета уравнения заданы в параметрической форме — как зависимости от времени, что облегчает моделирование.

Осуществим численное решение конечно-разностным методом. Численное решение может быть найдено только для конкретных значений параметров модели, например

m = 2 г, α₀= 45°, v₀ = 20 м/с, g = 10.8 м/с², x₀= 0, y₀ = 1 м.

Существует большое количество численных методов решения систем ОДУ. Для данной задачи можно использовать метод Эйлера, который является разновидностью конечно-разностных методов. В данном методе дифференциальное уравнение приводится к виду:

dy/dx = f(x,y),

а вид функции f(x,y) известен. Дифференциалы заменяются приращениями Δ, и для системы ОДУ данной задачи получаются расчетные формулы:

v_xⁿ⁺¹= v_x ⁿ, v_y ⁿ⁺¹ = v_y ⁿ - g*Δt,

xⁿ⁺¹= x ⁿ + v_xⁿ *Δt, y ⁿ⁺¹ = y ⁿ - v_yⁿ *Δt, (8.18)

где n- число приращений.

Очевидно, что вычисления надо вести до момента времени t_k, когда у(t_k) станет равным 0 - зерно упадет на землю. Подобное решение, ввиду его приближенного характера, целесообразно только в том случае, если используемая система моделирования не имеет средств достаточно точного решения систем дифференциальных уравнений или когда просто нужна демонстрация простых методов решения задачи.

Проверка адекватности модели. Необходимым требованием, которому должна отвечать каждая модель, является адекватность - соответствие результатов, полученных при моделировании, данным эксперимента, теоретическим положениям или тестовым примерам. Результаты, полученные по приведенной выше модели, будут существенно отличаться от действительных. Особенно это будет заметно, если уменьшать массу зерна, например взяв вместо зерна пылинку. Очевидно, это можно объяснить только грубым упрощением в принятой системе гипотез пренебрежением сопротивления воздуха. Учет этого фактора требует изменения концептуальной модели и всех последующих этапов решения.

Уточним математическую модель. Сила сопротивления воздуха направлена против направления движения зерна:

m * d²x/dt² = - F_x,

m * d²y/dt² = - m * g - F_y,

v_x = dx/dt,

v_у = dy/dt. (8.19)

Сопротивление воздуха зависит от скорости движения тела v и может быть описано следующей эмпирической формулой:

F = A * v + B * v³, (8.20)

где А = 0.1, Н с/м; B = 10^-3, Н *с³/м³ – параметры воздуха.

Введение этого соотношения делаёт дифференциальные уравнения нелинейными. Поскольку нелинейные задачи в аналитическом виде чаще всего не решаются, выбирают численные методы, которые реализуются в пакетах прикладных программ на компьютере.