Оптимизации количества удобрений, вносимых в поле

Постановка задачи. Агроному необходимо определить количество органических и сложных минеральных удобрений для разбрасывания на 20 га лугопастбищных угодий таким образом, чтобы полная стоимость вносимых удобрений была минимальной. Стоимость и химический состав последних показаны ниже в таблице 8.2.

 

Таблица 8.2- Стоимость и химический состав удобрений (данные имеют относительный характер)

 

Удобрение	Стоимость, руб/т	Азот, кг/т кг/т	Фосфор, кг/т	Калий, кг/т
Органическое удобрение			1.5
Сложное удобрение

 

Предполагается внести на луг не менее 75 кг/га азота, 25 кг/га фосфора и 35 кг/га калия. Производительность труда при разбрасывании органического удобре-ния может составлять 8 т/ч, а сложного удобрения — 0,4 т/ч при ресурсах времени для выполнения этой работы 25 ч.

Чтобы сформулировать задачу по схеме линейного программирования, следует вначале выделить три основных элемента модели, а именно:

- управляемые переменные,

- целевую функцию,

- ограничения на значения управляемых переменных.

Затем убедиться, что их можно представить в форме, обусловленной спецификой метода линейного программирования.

1.Управляемые переменные.

Задача агронома — определить количество органического и сложного удобрения. Поэтому названные величины и должны выступать в роли управляемых переменных.

Пусть:

х₁ = количество разбрасываемого органического удобрения, т;

x₂ = количество вносимого сложного удобрения, т.

Заметим, что модели линейного программирования обычно оперируют большим числом управляемых переменных. В практических задачах они исчисляются сотнями, а иногда тысячами и их принято обозначать символом х с индексом.

2.Целевая функция.

Цель агронома — свести к минимуму полную стоимость вносимых удобрений. Органическое удобрение обходится ему по 125 руб., а сложное удобрение — по 6500 руб. за 1 т, так что полная стоимость может быть задана в виде

.

Обозначив ее через F, можем записать целевую функцию:

Минимизировать

. (8.24)

3. Ограничения.

Ограничения на значения переменных накладываются, во-первых, соображениями агронома о минимальных нормах внесения азота (75 кг/га), фосфора (25 кг/га) и калия (35 кг/га) и, во-вторых, ресурсом времени (25 ч), выделенным на выполнение всех работ. Рассмотрим сначала ограничение на нормы внесения азота.

В 1 т органического удобрения содержится 6 кг, а в 1 т комбинированных удобрений — 250 кг азота, то есть всего в органическом удобрении содержится 6 х₁ кг, а в комбинированных удобрениях 250 x₂ кг азота. Таким образом, общее количество азота, вносимого на угодья, составляет и это суммарное количество не должно быть меньше 1500 кг, так как минимальная норма внесения — 75 кг/га, а площадь угодий — 20 га.

Поэтому ограничения по азоту можно записать в виде

. (8.25)

Подобным образом строятся ограничения по фосфору

(8.25)

и калию

. (8.26)

И, наконец, ограничение по ресурсу времени. Агроном разбрасывает органические удобрения с производительностью 8 т/ч и вносит сложные химические удобрение с производительностью 0,4 т/ч. Общее время, необходимое для выполнения этой работы, составляет х₁ /8 + x₂ /0.4 и не должно превышать

(8.27)

В формализациях задач линейного программирования константы, фигурирующие в ограничениях, обычно записываются в правой части соответствующих неравенств (уравнений). В этой роли могут выступать только неотрицательные, числа. Любую отрицательную константу можно заменить на положительную путем умножения обеих частей ограничения на - 1 и замены (в случае, если ограничение задано неравенством) знака неравенства на противоположный (например, знак < должен быть заменен на знак <, и наоборот). В нашем примере константы представлены числами 1500, 500, 700 и 200.

Если ограничение автоматически удовлетворяется при любых значениях управляемых переменных, подчиняющихся требованиям одного или нескольких других ограничений, то оно называется избыточным, которыми можно пренебречь.

4. Специальные требования.

Целевая функция и ограничения в рассматриваемом примере линейна, так как уравнение (8.24) и неравенства не содержат членов, в которые входили бы переменные в степени выше 1 либо произведения переменных. Они детерминированы, так как коэффициенты при переменных управления, как в целевой функции, так и в ограничениях — постоянные величины.

Переменные управления х₁ и x₂ не могут принимать отрицательных значений, поскольку внесение отрицательного количества удобрения было бы лишено физического смысла. Это значит, что выполняется условие неотрицательности, то есть

(10.28)

И, наконец, х₁ и x₂, удовлетворяя требованиям наложенных на них ограничений, могут принимать любые значения. Это значит, что выполняется условие непрерывности.

Таким образом, управляемые переменные, целевая функция и ограничения отвечают специальным требованиям, выдвигаемым формализацией по схеме линейного программирования. Полная запись рассматриваемого примера в ее математической постановке будет выглядеть следующим образом:

Минимизировать (целевая функция) (8.29)

с учетом:

(ограничение пo азоту); (8.30)

(ограничение по фосфору);

(ограничение по калию);
(ограничение по времени);

(условие неотрицательности);

(условие неотрицательности).

Пример решения данной задачи с помощью функции linprog пакета прикладных программ Matlab приведен ниже. Матрица целевой функции, определяемая ценами на удобрения:

f = [125; 6500].

Матрица коэффициентов левой части ограничений:

A = [-6 -250

-1.5 -100

-4 -100

-1 -200 ]

и вектор правой части ограничений:

b = [-1500; -500; -700; -200].

Условия неотрицательности переменных х₁ и x₂ записываются нулями в векторе

lb = zeros(2,1).

После ввода полученных матриц и векторов в оператор линейного программирования

[ x,fval ] = linprog(f,A,b,lb)

получается решение в виде вектора искомых переменных

x = [ 19.1111; 3.3333]

обеспечивающих минимум целевой функции

fval = 35556.

Интерпретируется результат следующим образом:

для достижения минимальной цены удобрений f = 35556 руб. необходимо внести:

органических удобрений х₁ = 19.1 т;

сложных удобрений x₂ = 3.3 т.