Прогнозирование потребления дизельного топлива методом декомпозиции временных рядов

 

Прогнозирование потребления топлива является одним из элементов планирования его рационального потребления и энергосбережения. Как правило, для прогнозирования потребления тоблива используют его потребление за предшествующие годы (помесячно), т.к. помесячный учет налажен в бухгалтерии любого предприятия.

Рассмотрим прогнозирование потребления дизельного топлива в неотором сельскохозяйственном предпримятии по результатам потребления предшествующих лет методом декомпозиции временных рядов (ДВР). В основе этого метода лежит понятие временного ряда. Этот метод можнго отнести к аналитическим методам моделирования. Под временным рядом понимаются последовательно измеренные через некоторые (зачастую равные) промежутки времени данные.

В сложившейся практике отчетности предприятий энергопотребление представляется в виде временного ряда. Пример временного ряда x_t – потребление дизельного топлива в течении года приведен в таблице 8.1, где t - месяцы потребления.

 

Таблица 8.1- Пример временного ряда: потребление дизельного топлива в течение года (t - месяц года; X_t –потребление дизельного топлива, л)

t				….
Xt	4,822*10^3	5,891*10^3	7,632*10^3	….	1,764*10^3	6,363*10^3	4,385*10^3

 

Случайный временной ряд энергопотребления часто удобно представлять в виде трех аддитивных составляющих - детерминированной (тренд), сезонной и остаточной случайной:

, (8.3)

где X_T (t) – тренд энергопотребления; X_s(t) - сезонная составляющая; X_c(t) - случайная составляющая; t =1,2,…, n - номер месяца.

Тренд - закономерная, неслучайная составляющая временного ряда (обычно монотонная). Тренд временного ряда часто является результатом действия на временной ряд физических законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть- тренд и колебательную часть (остаток). Поэтому, обычно предполагают, что тренд - это некоторая функция, модель, простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая “поведение в целом” временного ряда. Для нахождения трендовой составляющих временного ряда энергопотребления на начальном этапе исследования используют линейную зависимость - уравнение регрессии 1-го порядка:

. (8.4)

В общем случае, вычитание тренда из временного ряда приводит к моделированию стационарного процесса, что обеспечивает повышение устойчивости и точности. Если такой тренд упрощает исследование и ошибка X_о(t) достаточно мала, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым. В противном случае применяют модели более высоких порядков при t.

Сезонная составляющая X_s(t) - периодические колебания временного ряда. Сезонность характерна для временных рядов, порожденных изменениями в природе (температура, влажность, солнечная активность и т.п.), характерными для процессов сельского хозяйства- производства продуктов и потребления энергии. Сезонную составляющую описывают моделью, содержащей периодические функции, например cos t. В большинстве случаев период известен из контекста задачи- для сельскохозяйственного предприятия он будет равен году.

Случайная составляющая X_c(t) порождается случайными и неконтролируемыми изменениями параметров процесса или условий производства (температура, влажность и т.п.), а также ошибками измерений (методическими или инструментальными). Случайная составляющая обычно трактуется как шум, подчиняющийся нормальному (Гауссову) закону распределения.

Общая схема исследования временного ряда

1. Общее описание временного ряда, представленного определенной моделью.

2. Выделение тренда и анализ его значимости.

3. Выделение сезонной компоненты.

4. Выделение остатков - разницы между действительными значениями процесса и его трендом и сезонной составляющими:

. (8.5)

5. Анализ остатков на случайность.

Если остатки X_о(t) подчиняются нормальному закону распределения, то тренд X_T(t) и сезонная X_s(t) составляющая с минимальными ошибками описывают процесс. В противном случае или модель тренда или сезонная составляющая описывают процесс с большой ошибкой и требуется замена или самих моделей или исходных данных.

Целесообразно формировать базу данных потребления по-месячно за несколько лет- 3 и более. Тогда число строк в базе данных потребления будет кратно 12- 12, 24, 36, 48 и т.д. Например, на рисунке 8.4 сплошной линией с точками показан график потребления дизельного топлива X некоторого сельскохозяйственного предприятия за три года (2008, 2009, 2010 гг.)- последовательно, месяц за месяцем. По оси абцисс отложены порядковый номер месяца начиная с января 2008г. здесь же представлен линейный тренд этого временного ряда. Потребление дизельного топлива имеет явно сезонный характер с пиками на конец лета- начало осени, с минимумом зимой и локальными минимумавми в начале лета.

 

Рисунок 8.4- Временной график потребления топлива за три года

 

Далее с помощью линейного метода наименьших квадратов вычисляется тренд этого временного ряда X_T, изображенный на рисунке 8.1 пунктирной линией:

, (8.6)

где b= [b₀, b₁ ] – вектор параметров линейной регрессии, тренда;

, (8.3)

где W=[1, t] - вектор времени t, дополненный единичным вектором.

Эти же данные можно представить параллельно по годам, рисунок 8.5. Несмотря на временное равенство потребления (12 месяцев), наблюдается некоторое отличие в потреблении по месяцам и годам.

 

Рисунок 8.5- Разбивка временного ряда значений потребления по годам.

 

На начальном этапе анализа временной ряд потребления дизельного топлива предприятия логарифмируется с целью устранения нелинейности математического ожидания и дисперсии:

X_ln=ln(X).

Далее с помощью линейного метода наименьших квадратов вычисляется тренд нового, прологарифмированного, временного ряда x_2t:

, (8.8)

где b= [b₀, b₁ ] – вектор параметров линейной регрессии, тренда;

, (8.9)

где W=[1, t] - вектор времени t, дополненный единичным вектором.

Графическое представление логарифма значений потребления дизельного топлива и его тренд в логарифмических единицах (л.е.) приведены на рисунке 8.6.

 

 

Рисунок 8.6- Графическое представление потребления дизельного топлива и его тренд

 

 

Эти же данные представим параллельно, по годам, рисунок 8.7. Вычтем трендовую составляющую из потребления

. (8.10)

В общем случае, вычитание тренда приводит к моделированию стационарного процесса, что обеспечивает повышение устойчивости и точности. На рисунке 8.4 изображены годовые сезонные и случайные составляющего потребления в логарифмическом масштабе (без тренда).

 

Рисунок 8.7- Разбивка временного ряда значений потребления по годам в логарифмических единицах.

 

В процессе потребления дизельного топлива на предприятии явно прослеживается сезонность. Эти данные являются основой прогнозирования, предполагая, что в будущем сезонный и случайный процессы будут проходить точно также, как они происходили в предыдущие три года. Их статистические характеристики в прошлом, оставаясь неизменными, определяют поведение системы в будущем.

Для дальнейшей обработки выделяются ежемесячные медианные и максимальные минимальные уровни потребления. Верхние и нижние границы переменного доверительного интервала для каждого месяца определяются следующим образом:

 

, (8.11)

где -медиана потребления объекта; - ширина доверительного интервала; - среднее значение дисперсии за все годы наблюдения.

Для вычисления доверительных интервалов обычно достаточно взять доверительный интервал в 2 сигмы =2.

Прогнозирование электропотребления на следующий временной шаг

Определим шаг прогноза на t_pr = 12 следующих месяцев- горизонт прогноза. Первоначально сформируем логарифм значений трендовой составляющей на прогнозный период

. (8.12)

Присвоение переменной логарифма значений медианного, максимального и минимального прогнозного потребления:

(8.13)

где -прогноз медианы потребления объекта; - максимальное прогнозное потребление; - минимальное прогнозное потребление.

Произведем обратное логарифмическое преобразование полученных данных и в результате получим на прогнозируемый период нижний доверительный интервал X_d, верхний доверительный интервал X_s, и прогнозное значения потребления дизельного топлива X_p в абсолютных единицах, литрах, рисунок 8.8.

 

 

 

Рисунок 8.8- Прогнозирование потребления дизельного топлива на следующие 12 месяцев

 

На завершающем этапе модель проверяется на адекватность. Остатки прогнозирования проверяются на нормальность с помощью критерия Пирсона и тестируются на белый шум.