Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

 

В инженерной практике наибольшее распространение получили линейчатые поверхности, у которых одна из направляющих является несобственной прямой. На чертеже ее представителем является плоскость параллелизма. Образующая в своем движении пересекает две направляющие и параллельна некоторой плоскости S – плоскости параллелизма. Такие поверхности называют поверхностями Каталана. Определитель такой поверхности имеет вид Ф(S; k, l).

В зависимости от формы направляющих различают следующие поверхности Каталана: цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид (косая плоскость). Цилиндроид – линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой обе направляющие являются кривыми линиями. На рис. 11.2,а показан отсек (часть) цилиндроида, у которого плоскость параллелизма S – горизонтально проецирующая. На горизонтальной плоскости проекций образующие параллельны между собой и параллельны следу плоскости S(S₁). Фронтальные проекции образующих построены исходя из условия пересечения направляющих k и l в соответствующих точках 1, 2, 3, …, 10. У коноида, в отличие от цилиндроида, одна из направляющих прямая. Гиперболический параболоид получается в результате перемещения прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим.

Образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма. На рис. 11.2, б плоскость S – фронтально проецирующая и проекции образующих параллельны фронтальному следу плоскости S(S₂).

Рассмотрим принадлежность точки поверхностям Каталана. Пусть задана фронтальная проекция точки A(A₂), принадлежащей поверхности цилиндроида (рис. 11.2, а). Требуется построить горизонтальную проекцию точки А. В соответствии с условием принадлежности точки поверхности проведем через А₂ проекцию линии m(m₂), принадлежащей цилиндроиду. Так как линия m принадлежит поверхности, строим горизонтальные проекции точек пересечения кривой m с образующими цилиндроида. Множество полученных точек задают горизонтальную проекцию линии m(m₁). Искомая проекция точки А(А₁) будет расположена на m₁.

Пусть теперь фронтальная проекция точки А(А₂) задана на поверхности гиперболического параболоида. И в этом случае через А₂ можно провести проекцию произвольной кривой m. Однако здесь известно, что проекции образующих параллельны следу плоскости S(S₂). Тогда через А₂ проводим проекцию образующей KL(K₂L₂) параллельно S₂. Горизонтальную проекцию KL проводим через точки K₁ и L₁, принадлежащих направляющим k и l, соответственно. Искомая проекция точки А(А₁) будет расположена на K₁L₁.

 

11.5.2. Коническая и цилиндрическая поверхности

 

Коническая поверхностьобразуется движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей. При этом образующая проходит через

некоторую неподвижную точку S, которая называется вершиной (рис. 11.3, а). Коническая поверхность является частным случаем линейчатых поверхностей общего вида, когда две направляющие, например l и m, пересекаются в точке S. Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую k и вершину S. В зависимости от вида направляющей коническая поверхность может быть замкнутой и незамкнутой.

Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда все прямолинейные образующие проходят через направляющую k и пересекаются в несобственной точке S (рис. 11.3, б). Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую k и несобственную вершину S (направляющий вектор). Цилиндрическая поверхность также может быть незамкнутой или замкнутой.

Точка А принадлежит данным поверхностям, так как она принадлежит образующим этих поверхностей. На конической поверхности она принадлежит образующей 2S, а на цилиндрической – образующей t.

 

11.5.3. Торс

Торс (поверхность с ребром возврата) образуется движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой, называемой ребром возврата (от франц. «tors ») - витой, крученный).

Ребро возврата m является направляющей торса. Торс состоит из двух полостей, разделенных ребром возврата (рис. 11.4).

Если ребро возврата вырождается в точку, поверхность торса превращается в коническую поверхность. В случае, если ребро возврата является несобственной точкой, торсовая поверхность становится цилиндрической.

 

11.6. Гранные поверхности и многогранники

Гранной поверхностью на-зывается поверхность, образо-ванная перемещением прямоли-нейной образующей по ломаной направляющей. Гранные по-верхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 11.5, а) и призматические (рис.11.5, б).

Пирамидальной называется поверхность, образованная пере-мещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Определитель поверхности – ломаная направляющая m и точка S.

Призматической называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному направлению S. Определитель поверхности – ломаная направляющая m и направление S.

Точки A и B принадлежат пирамидальной и призматической поверхностям соответственно, так как принадлежат прямым, расположенным на этих поверхностях.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многоугольники поверхности называют гранями, стороны многоугольников – ребрами, а вершины многоугольников – вершинами многогранника. Рассмотрим два вида многогранников – пирамиду и призму.

Пирамида представляет собой многогранник (рис. 11.6 – это пример безосного чертежа), у которого одна грань - основание (произвольный многоугольник ABC). Остальные грани (боковые) - треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Точка D принадлежит поверхности пирамиды, так как лежит на прямой S1, принадлежащей боковой грани ASC.

Призмойназывается многогранник, у которого основания – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы - параллелограммы. Если ребра боковых граней перпендикулярны основанию, то призму называют прямой.

На рис. 11.7 приведен комплексный чертеж (безосный, как многие приведенные ниже) трехгранной призмы. Видимость ребра АВ определена по конкурирующим точкам 3 и 4. Точка 4 расположена выше точки 3, а значит, на П₁ проекция точки 3 будет невидимой. Так как точка 3 принадлежит ребру 12, то оно также будет невидимым.

 

Точка D (рис. 11.7) принадлежит поверхности призмы, так как лежит на прямой 12, принадлежащей поверхности призмы.

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращательном движении образующей (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения (рис. 11.8). Геометрической частью определителя поверхности вращения является образующая и ось вращения. Каждая точка образующей n при своем вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси i, а центр расположен на оси. Эти окружности называются параллелями (на рис. 11.8 – например, окружность 1). Наименьшая из параллелей (окружность 2) называется горлом, а наибольшая (окружность 3) – экватором.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридианальной. Линия ее пересечения с поверхностью – меридианом. Если меридианальная плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость меридиан проецируется без искажения. Такой меридиан называется главным.

На чертеже поверхность вращения однозначно задается своим определителем. Однако для наглядности чертеж поверхности дополняют очерками. На рис. 11.9 показано построение очерков для поверхности, заданной осью i (i ^П₁) и образующей n. Возьмем на образующей n(n₁, n₂) произвольную точку 1(1₁, 1₂). При вращении образующей вокруг оси i(i₁, i₂), точка 1 опишет окружность, плоскость которой перпендикулярна оси, а центр расположен на оси. Так как ось поверхности перпендикулярна П₁, то плоскость окружности параллельна П₁ и окружность проецируется на П₁ в окружность с центром i₁, проходящую через точку 1₁. На П₂ окружность проецируется в отрезок А₂В₂, перпендикулярный i₂ и равный А₁В₁ (диаметру окружности). Точки А₂ и В₂ принадлежат фронтальному очерку поверхности. Выполнив описанные выше построения для других точек образующей n и соединив их плавной линией, получим фронтальный очерк m₂ поверхности вращения. Горизонтальным очерком поверхности является окружность, проходящая через точки С_1, D₁.