Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямой t ' Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую tпо условиям: t ^ h, t ^ f(рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.

Построить прямую t по условиям: t ' E, t ^ Σ (рис. 7.4).

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h₂ // х, f₁ // x;

2) строятся проекции t₁ и t₂ искомой прямой t, где t₂ ' Е₂, t₂ ^ f₂; t₁ ' E₁, t₁ ^ h₁. В итоге t₁ , t₂ – решение задачи. Прямая tскрещивается с fи h.

Выбор линий уровня h и fв качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая tи точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t(рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h₁,h₂) и f(f₁,f₂),проходящих через точку Е: h₂ ' E₂, h₂ // х, h₁ ' E₁, h₁ ^ t₁ ; f₁ ' E₁, f₁ // х, f₂ ' E₂, f₂ ^ t₂. Плоскость (h, f) – решение задачи.

Линии наибольшего наклона

 

Приведем известную в начертательной геометрии теорему: прямые в плоскости, перпендикулярные ее линиям уровня, являются линиями наибольшего наклона этой плоскости к плоскостям проекций. Эта теорема позволяет выполнять построения линий наибольшего наклона на КЧ.

Задача. Дана плоскостьΣ(ΔАВС). Построить ее линии наибольшего наклона относительно плоскостей проекций П₁ и П₂ (рис. 7.6), проходящие через вершину В. Алгоритм проекционного решения задачи будет следующим:

1) строятся в плоскости Σ линии уровня h(h₁,h₂) и f(f₁,f₂), где h₂ // х, f₁ // х;

2) строится вначале m₂ ' B₂,m₂^ f₂, затем m₁;

3) строится вначалеn₁ ' B₁, n₁ ^ h₁, затем n₂.

Линия m(m₁,m₂) определяет наибольший наклон плоскости Σ к плоскости проекций П₂, а линия n(n₁,n₂) определяет наибольший наклон плоскости Σ к плоскости проекций П₁.