Ортогональное (прямоугольное) проецирование и его свойства 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Ортогональное (прямоугольное) проецирование и его свойства



Начертательная геометрия

Конспект лекций

 
 

 


Омск 2005

УДК 514.18

ББК 22.151.

Л 99

 

Рецензенты:

 

В.Я. Волков, д-р техн. наук, проф. СибАДИ,

Ю. Ф. Савельев, канд. техн. наук, доцент ОмГУПС.

 

 

Ляшков А.А.

Л 99 Начертательная геометрия: Конспект лекций / А.А. Ляшков, Л.К.Куликов, К.Л. Панчук. – Омск: Изд – во ОмГТУ, 2005. – 108 с.

 

В пособии рассмотрены следующие темы курса начертательной геометрии: комплексные чертежи фигур; позиционные задачи; метрические задачи; развертки поверхностей; ортогональная аксонометрия. Приведены примеры решения основных задач и даны условия задач для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей вечерней и заочной форм обучения технических вузов.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ОмГТУ.

 

УДК 514.18

ББК 22.151.3

 

ã Авторы, 2005

ã Омский государственный технический университет, 2005

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начертательная геометрия входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Методы начертательной геометрии находят широкое применение в науке и технике. Изучение данной дисциплины способствует развитию пространственного воображения и навыков логического мышления, необходимых инженеру любой специальности.

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек. Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства. Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

В данном учебном пособии рассмотрены основные темы учебного курса начертательной геометрии: комплексные чертежи фигур; преобразования комплексного чертежа; позиционные и метрические задачи; развертки поверхностей; аксонометрические проекции.

При подготовке учебного пособия авторы распределили между собой работу следующим образом: А.А. Ляшковым написаны параграфы 5, 10, 11, 12; Л.К. Куликовым – предисловие и параграфы 1, 2, 3, 4, 14, 15; К.Л. Панчуком – параграфы 6, 7, 8, 9, 13.

 

 

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

А, В, С, D, E … или 1, 2, 3, 4, 5 … – точки в пространстве;

a, b, c, d, e, … – прямые и кривые линии в пространстве;

D, F, G, R, S … – плоскости и поверхности в пространстве;

Oxyz – система координат в пространстве;

Ox, Oy, Oz – оси координат;

= – равенство, совпадение;

Ç – пересечение (b Ç S = A – прямая b пересекает плоскость S в точке А, аналогичная запись будет для кривой и поверхности, однако по тексту понятно, о каких фигурах идет речь);

// – параллельность (b // d – прямая b параллельна прямой d);

×/ – скрещиваемость (m ×/ n – прямые m и n скрещиваются);

^ – перпендикулярность (е ^ S – прямая е перпендикулярна плоскости S);

Î – принадлежность элемента множества данному множеству (А Î b – точка А принадлежит линии b);

Ì – принадлежность подмножества множеству (n Ì S – линия принадлежит поверхности);

¹, Ï, Ë, … – знаки, обозначающие отрицание указанных выше отношений;

® – отображение (А ® А1 – точка А отображается в точку А1);

Þ – знак логического следствия;

П1– горизонтальная плоскость проекций (Oxy);

П2– фронтальная плоскость проекций (Oxz);

П3– профильная плоскость проекций (Oyz);

h – горизонталь (прямая, параллельная плоскости П1)

f – фронталь (прямая, параллельная плоскости П2);

p – профильная прямая (прямая, параллельная профильной плоскости П3);

А1, В1, С1, D1, E1 … или 11, 21, 31, 41, 51 … – проекции точек на П1;

А2, В2, С2, D2, E2 … или 12, 22, 32, 42, 52 … – проекции точек на П2;

А3, В3, С3, D3, E3 … или 13, 23, 33, 43, 53 … – проекции точек на П3;

а1, b1, c1, d1, e1, … – проекции прямых или кривых линий на П1;

а2, b2, c2, d2, e2, … – проекции прямых или кривых линий на П2;

а3, b3, c3, d3, e3, … – проекции прямых или кривых линий на П3;

D1, F1, G1, R1, S1 … – проекции плоскостей и поверхностей на П1;

D2, F2, G2, R2, S2 … – проекции плоскостей и поверхностей на П2;

D3, F3, G3, R3, S3 … – проекции плоскостей и поверхностей на П3;

П4, П5, П6, … – новые (дополнительные) плоскости проекций;

x14, x25, … – новые оси (x14 = П1 Ç П4, x25 = П2 Ç П5) или x1, x2, x3, …, если принадлежность осей плоскостям проекций не вызывает сомнений;

– возможные варианты графического обозначения прямого угла на чертеже.

 

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

 

Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры, необратим. Действительно, по проекции А1 (рис. 1.1) найти точку А в пространстве невозможно, так как по проекции нельзя найти расстояние точки А до плоскости П1. По проекции отрезка CD (точка C1 = D1) найти длину этого отрезка невозможно. Одним из методов, позволяющих добиться обратимости чертежа, является увеличение числа плоскостей проекций.

 

Комплексный чертеж точки

 

 
 

Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В пространстве зададим прямоугольный параллелепипед AA2AzA3A1AxOAy (рис. 2.1). Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямо-

угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми ребрам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.

Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Система Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, единица измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).

Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П1, П2, П3 (рис. 2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П1 (горизонтальная плоскость проекций), оси x и z принадлежат П2 (фронтальная плоскость проекций), оси y и z принадлежат П3 (профильная плоскость проекций). Пространство делится плоскостями проекций П1, П2 и П3 на восемь частей – октантов. Номера их показаны на рис. 2.3.

Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим построить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П1, получим точку А1. Действительно, точка А1 принадлежит П1, ребро АА1 перпендикулярно плоскости П1, т. е. А1 – ортогональная проекция точки А на плоскость П1. Точка А1 – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П2, получим А2 (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А на П3, получим А3 (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как и для проекции А1. Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две плоскости проекций фигура AA1AxA2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси Ox.

Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так, например, координата xA (измеряется вдоль оси x) по абсолютной величине равна длине отрезка А3А и положительна, если точка А находится в том же полупространстве относительно плоскости П3, что и положительная полуось оси x. В противном случае координата отрицательна. Все ребра параллелепипеда, параллельные и равные А3А будем называть координатными отрезками xA. Это отрезки А3А, АyА1, ОАx, АzА2. Длины этих отрезков, взятые со знаком, являются координатой xА точки А. Аналогично вводятся и координатные отрезки yА и zА. Координатные отрезки yА: А2А; АxА1; ОАy; АzА3. Координатные отрезки zА: А1А; АyА3; ОАz; АxА2. Напомним, что ломаная ОАxА1А называется координатной ломаной. Ее звенья – координатные отрезки xА, yА, zА. Запись В(3; 2; 5) означает, что координата xВ = 3, координата yВ = 2, координата zВ = 5.

Будем рассматривать только те точки и линии, которые расположены в плоскостях проекций и выполним повороты плоскостей П1 и П3 вокруг осей x и y соответственно до совмещения с плоскостью П2. Направления поворотов на рис. 2.3 показаны штриховыми линиями. Плоскость П2 является плоскостью чертежа. После поворота оси координат займут положение, показанное на рис. 2.4.

 
 

 

Ось y, двигаясь с плоскостью П1 попадает на ось z, а двигаясь с плоскостью П3, попадает на ось x. Это второе положение оси y обозначим y'. Достраивая ребра параллелепипеда, расположенные в плоскостях проекций, получим рис. 2.5. Поскольку ребра параллелепипеда, проходящие через вершину Аx, взаимно перпендикулярны, то получим, что А2Аx и АxА1 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично отрезки А2Аz и АzА3 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси z. Прямые (А1А2) и (А2А3) называются линиями проекционной связи (иногда под линиями проекционной связи понимают соответствующие отрезки этих прямых).

На рис. 2.5 обозначены координатные отрезки xА, yА, zА. Для того чтобы обеспечить линейную связь между А1 и А3, введем прямую k (постоянная прямая чертежа). Ломаную А1АkА3 (или две пересекающиеся прямые А1Аk и АkА3) будем считать линией проекционной связи для А1 и А3.

Таким образом, точке А пространства соответствует изображение на плоскости, состоящее из трех проекций А1, А2, А3, связанных между собой линиями проекционной связи, которое называется комплексным чертежом точки A в системе (П1П2П3). Этот чертеж обратим, так как на нем присутствуют все три координатных отрезка, что устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их изображениями на плоскости.

В курсе черчения, при изображении предметов на чертеже, горизонтальная проекция называется видом сверху, фронтальная – видом спереди, профильная – видом слева.

Если известны А1 и А2, то А3 можно построить. Достаточно провести через А2 линию проекционной связи перпендикулярно оси z и через А1 – ломаную линию проекционной связи. Пересечение этих линий и будет точкой А3. Кроме того, на чертеже, содержащем только А1 и А2, присутствуют все координатные отрезки, т. е. такой чертеж тоже обратим. Изображение точки А, состоящее из проекций А1 и А2, связанных между собой линией проекционной связи, называется комплексным чертежом точки А в системе (П1П2) или комплексным чертежом. При получении такого чертежа плоскость П3 не вводится. Пространство двумя плоскостями П1 и П2 делится на четыре части – четверти. Номера четвертей совпадают с номерами первых четырех октантов.

Для построения комплексного чертежа точки А(xА, yА, zА) необходимо построить по координатам А1(xА, yА) и А2(xА, zА). Если рассматривается комплексный чертеж в системе (П1П2П3), то можно по координатам построить А3(yА, zА), при этом используется ось y'. Можно А3 построить и по линиям проекционной связи. При откладывании координатных отрезков на отрицательных полуосях необходимо обратить внимание на то, что отрицательные полуоси одних осей совпадают с положительными полуосями других осей.

На рис. 2.6 приведены комплексные чертежи в системе (П1П2П3) точек А(3; 4; 2) и В(2; 3; –2), С(–1; 0; 3). Единица измерения помечена штрихами на координатных отрезках. Точка А находится в первом октанте, точка В – в четвертом октанте, точка С принадлежит плоскости П2. О точке С можно сказать, что она принадлежит пятому и шестому октантам одновременно. На рис. 2.7 приведены комплексные чертежи в системе (П1П2) точек К(4; 2; 2) и L(5; –3; 4), M(6; –2; –3), N(1; 3; –5), F(–2; 3; 4). Точки К и F находятся в первой четверти, точка L – во второй, точка М – в третьей, точка N – в четвертой четверти.

Принадлежность точки определенной четверти или октанту можно выявить по знакам координат x, y, z этой точки. Для точек каждой четверти или октанта характерны определенные знаки координат. Можно представить координатные плоскости, оси координат (рис. 2.3) и мысленно построить координатную ломаную точки (ОAxА1А на рис. 2.3) и увидеть в какой четверти или октанте находится точка.

Знаки координат x, y, z в октантах: 1(+; +; +); 2(+; −; +); 3(+; −; −); 4(+; +; −); 5(−; +; +); 6(−; −; +); 7(−; −; −); 8(−; +; −).

 
 

Знаки координат в четвертях: 1(±; +; +); 2(±; −; +); 3(±; −; −); 4(±; +; −).

В дальнейшем рассматриваются комплексные чертежи фигур в системе (П1П2). Единица измерения по всем осям одинакова – один миллиметр и специально помечаться штрихами не будет.

 

 

Комплексный чертеж прямой

 

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.

Провести прямую на чертеже невозможно, так как она неограниченна и не имеет определенной длины. Обычно прямая задается на чертеже отрезком и предполагается, что отрезок при необходимости можно продолжить.

При проецировании прямой e на горизонтальную плоскость проекций П1 получим прямую e1, при проецировании прямой e на фронтальную плоскость проекций П2 получим прямую e2. Прямая e1 – это горизонтальная проекция прямой e, прямая e2 – фронтальная проекция прямой e (рис. 2.8). Условимся, на комплексном чертеже в системе (П1 П2), оси y и z не показывать. Запись e(e1, e2) означает, что прямая e на чертеже задана проекциями e1 и e2. Такая запись используется не только для прямой, но и для любой фигуры. Прямая e является прямой общего положения. Убедимся в этом, рассмотрев комплексные чертежи прямых частного положения (рис. 2.9).

Прямая h, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонталью. Расстояние от каждой точки горизонтали h до П1 одинаковы, так как h // П1. Эти расстояния присутствуют на фронтальной плоскости проекций (координатные отрезки z для каждой точки прямой). Поэтому фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x, то есть h2 // x.

 

 

 
 

Прямая f, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронталью. Расстояния от каждою точки f до П2 одинаковы. Эти расстояния присутствуют на горизонтальной плоскости проекций (координатные отрезки y для каждой точки прямой). Поэтому f1 // x.

Прямая a, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтально проецирующей прямой. На П1 она проецируется в точку. Так как прямая a параллельна оси z, то a2 параллельна оси z на П2. Прямая a не только горизонтально проецирующая прямая, но также является фронталью, так как a // П2.

Прямая b, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтально проецирующей прямой. На П2 она проецируется в точку. Прямая b также является горизонталью.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня, или линиями уровня. Прямая n, параллельная П1 и П2, может быть названа прямой двойного уровня (n1 // x, n2 // x), кроме того n параллельна оси x.

На комплексном чертеже в системе (П1 П2 П3) прямыми частного положения, кроме рассмотренных выше прямых, будут прямые параллельные плоскости П3 – профильные прямые. На рис. 2.9 показаны проекции p1 и p2 профильной прямой, у точек этой прямой одинаковы координатные отрезки x. При построении на комплексном чертеже профильной прямой необходимо задавать профильную проекцию этой прямой. Заметим, что прямая n на комплексном чертеже в системе (П1П2П3) называется профильно проецирующей прямой, ее проекцией на П3 будет точка.

Комплексные чертежи прямых частного положения обладают ярко выраженными особенностями – у прямых уровня есть проекция, параллельная оси координат, у проецирующих прямых одна проекция – точка. Прямая e (рис. 2.8) не обладает этими особенностями, поэтому является прямой общего положения.

Поскольку через две точки проходит единственная прямая, то прямую можно задать двумя точками. От такого задания прямой легко перейти к заданию прямой отрезком. Действительно, соединив по линейке горизонтальные проекции точек, получим горизонтальную проекцию отрезка, соединив фронтальные проекции точек, получим фронтальную проекцию отрезка. Если даны горизонтальная и фронтальная проекции прямой, то для того, чтобы построить профильную проекцию прямой, необходимо построить профильные проекции двух любых точек этой прямой и провести через них профильную проекцию прямой (точнее, профильную проекцию отрезка, задающего прямую).

Обратим внимание на одно свойство линий уровня. Отрезок, расположенный на линии уровня, проецируется в равный ему отрезок на ту плоскость проекций, которой параллельна линия уровня. Например, отрезок на горизонтали проецируется на горизонтальную плоскость проекций в равный ему отрезок, т.е. в натуральную величину (рис. 1.2, a = 0).

 

 

ИХ ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПЛОСКОСТИ

Взаимное положение прямых

В пространстве две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными, скрещиваться.

 
 

У совпавших прямых все точки совпадают, поэтому эти прямые будут иметь совпавшие одноименные проекции. По сути, это одна прямая, обозначенная по-разному.

 

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Пусть прямые общего положения a и b пересекаются в точке K (a Ç b = K). Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекающиеся прямые. Точка K – реально существующая точка, и ее проекции находятся на линии проекционной связи (K1K2), перпендикулярной оси x (рис. 3.3).

Параллельные прямые расположены в одной плоскости и не имеют общих точек. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные прямые (пятое свойство ортогонального проецирования). На рис. 3.4 показан комплексный чертеж параллельных прямых e и m. При проецировании этих прямых на П1 получим e1 // m1, при проецировании на П2 – e2 // m2.

Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Эти прямые не параллельны и не пересекаются. Пример комплексного чертежа скрещивающихся прямых n и b показан на рис. 3.5 (n ×/ b). Горизонтальные и фронтальные проекции этих прямых пересекаются. Но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи. В точке пересечения горизонтальных проекций совпали проекции двух точек 1 Î n и 2 Î b. Это горизонтально конкурирующие точки. Координаты x и y этих точек равны, а координата z точки 1 больше, чем z точки 2. В точке пересечения фронтальных проекций этих прямых совпали проекции двух точек 3 Î n и 4 Î b. Это фронтально конкурирующие точки. Координаты x и z этих точек равны, а координата y точки 4 больше, чем y точки 3. Скрещивающиеся прямые могут проецироваться на одну плоскость проекций в параллельные прямые, а на другую плоскость проекций – пересекающиеся прямые.

Если хотя бы одна из прямых является профильной прямой, то для определения взаимного положения прямых нужно построить профильные проекции этих прямых.

При рассмотрении комплексных чертежей любых фигур необходимо мысленно представлять эти фигуры в пространстве и их положение относительно плоскостей проекций.

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

 

В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.

 

4.1. Метод замены плоскостей проекций

 

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что вместо одной из плоскостей проекций вводится новая плоскость, перпендикулярная к другой плоскости проекций. На рис. 4.1 показана пространственная схема получения комплексного чертежа точки А в системе (П1П2). Точки А1 и А2 – горизонтальная и фронтальная проекции точки А, АА1АxА2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси x (рис. 2.3).

Новая плоскость П4 перпендикулярна П1. При проецировании точки А на П4 получим новую проекцию А4, фигура АА1А14А4 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна новой оси x14 = П4 Ç П1. Для получения комплексного чертежа будем рассматривать фигуры, расположенные в плоскостях проекций. Поворотом вокруг оси x14 совместим П4 с П1, затем поворотом вокруг оси x совместим П1 (и П4) с П2 (на рис. 4.1 направления движения плоскостей П4 и П1 показаны штриховыми линиями со стрелками). Полученный чертеж приведен на рис. 4.2. Прямые углы на рис. 4.1, 4.2 помечены дугой с точкой, равные отрезки помечены двумя штрихами (противоположные стороны прямоугольников на рис. 4.1). От комплексного чертежа точки А в системе (П1П2) перешли к комплексному чертежу точки А в системе (П1П4), заменили плоскость П2 на плоскость П4, заменили А2 на А4.

На основе этих построений сформулируем правило замены плоскостей проекций (правило получения новой проекции). Через незаменяемую проекцию проводим новую линию проекционной связи перпендикулярно новой оси, затем от новой оси по линии проекционной связи откладываем отрезок, длина которого равна расстоянию от заменяемой проекции до старой оси, полученная при этом точка и есть новая проекция. Направление новой оси будем брать произвольно. Новое начало координат указывать не будем.

На рис. 4.3 показан переход от комплексного чертежа в системе (П1П2) к комплексному чертежу в системе (П2П4), а затем еще один переход к комплексному чертежу в системе (П4П5). Вместо плоскости П1 введена плоскость П4, перпендикулярная П2, затем вместо П2 введена плоскость П5, перпендикулярная П4. Используя правило замены плоскостей проекций, можно выполнить любое количество замен плоскостей проекций.

 

Плоскость проекций

 

Придание фигурам частного положения относительно плоскостей проекций значительно облегчает решение многих задач. Для того чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, необходимо, чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна прямой. Прямая на эту плоскость спроецируется в точку. Плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, является плоскостью общего положения. Введение такой плоскости в качестве новой плоскости проекций невозможно, так как новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одной из старых плоскостей проекций. Таким образом, решить задачу проецирования прямой общего положения в точку одной заменой плоскости проекций нельзя. Поэтому попытаемся решить задачу сначала для прямой частного положения, а именно – для прямой уровня.

 
 

Пусть h(h1, h2) – горизонталь (рис. 4.5). Введем новую плоскость проекций П4 перпендикулярно h. Поскольку h параллельна П1, то П4 будет перпендикулярна П1. Плоскость П4 может быть взята в качестве новой плоскости проекций и на нее h спроецируется в точку. Новая ось x14 перпендикулярна проекции h1, так как h1 параллельна h и, значит, перпендикулярна П4 и x14. Для построения новой проекции горизонтали построим новые проекции двух ее точек 1 и 2. Новые проекции этих точек, построенные по правилу замены плоскостей проекций, совпадают. Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то проекции остальных точек горизонтали тоже совпадут, т.е. горизонталь проецируется на П4 в точку.

Используя решение задачи проецирования линии уровня в точку, можно выполнить проецирование прямой общего положения m в точку (рис. 4.6). Введем новую плоскость проекций П4 параллельно прямой m и перпендикулярно П1. Новая ось x14 параллельна горизонтальной проекции m1. По новым проекциям двух произвольных точек 1 и 2 прямой m находим m4. В новой системе плоскостей (П1П4) прямая m является линией уровня, она параллельна П4 (при этом m1 параллельна x14). Теперь, используя решение предыдущей задачи (рис. 4.5), проецируем прямую m в точку. Для этого вводим новую плоскость проекций П5 перпендикулярно прямой m и перпендикулярно П4. Прямая m на П5 проецируется в точку. В новой системе плоскостей проекций (П4П5) прямая m является проецирующей прямой.

 

Фигуры

Если спроецировать какую - либо прямую m, принадлежащую плоскости общего положения S, в точку, то плоскость S спроецируется на эту же плоскость проекций в прямую линию. Действительно, прямая m перпендикулярна плоскости проекций и, значит, плоскость S проходит через перпендикуляр к плоскости проекций и тоже ей перпендикулярна. Плоскость S является проецирующей плоскостью и на плоскость проекций проецируется в прямую. Если m – прямая общего положения, то для проецирования ее в точку потребуются две замены плоскостей проекций (рис. 4.6). Если m – прямая уровня, то для ее проецирования в точку потребуется одна замена плоскостей проекций (рис. 4.5).

Пусть S – плоскость общего положения, заданная треугольником АВС (рис. 4.7). В плоскости S проведем горизонталь h, спроецируем горизонталь h в точку h4 на плоскость П4 (x14 ^ h1, П4 ^ h), построим новые проекции точек А4, В4, С4. Плоскость S проецируется в прямую, проходящую через точки А4, В4, С4. Плоскость S в системе (П1П4) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П4. Треугольник АВС проецируется на П4 в отрезок В4С4.

Для нахождения натуральной величины треугольника АВС введем плоскость проекций П5 параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П4. Новая ось x45 параллельна отрезку D4C4 (в противном случае S и П5 пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П5 в натуральную величину DА5В5С5 = DАВС. Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры. Плоскость S в системе (П4П5) является плоскостью уровня.

Если необходимо построить в плоскости S какую-либо фигуру, то выполнить это построение в плоскости общего положения трудно. В этом случае проводятся построения, показанные на рис. 4.7. На П5 строится натуральная величина фигуры. Затем находятся остальные проекции этой фигуры. На рис. 4.7 по проекции D5 (одна точка натуральной величины фигуры) найдены остальные проекции этой точки. Проекция D4 принадлежит прямой, в которую проецируется плоскость S. Последовательность построений показана стрелками. Правило замены плоскостей проекций справедливо и в этом случае. Равные отрезки помечены одинаково. Таким способом можно построить, например, окружность, вписанную в треугольник ABC. На плоскости П5 строится окружность, вписанная в треугольник А5В5С5, а затем находятся остальные проекции ряда точек окружности так же, как для точки D5. Горизонтальная и фронтальная проекции этой окружности – эллипсы.

В случае, когда дана проецирующая плоскость, построений, связанных с натуральной величиной фигуры, конечно, меньше, так как плоскость уже проецируется в прямую линию. На рис. 4.8 показано построение квадрата, принадлежащего горизонтально проецирующей плоскости. Пусть дана горизонтально проецирующая плоскость S(S1) и две точки этой плоскости А(А1, А2) и В(В1, В2). Необходимо построить квадрат ABCD в плоскости S. Соединяем отрезками проекции А22 и А11. Получили проекции стороны квадрата. Вводим плоскость П4 // S1 (x14 // S1). Строим новую проекцию А4В4. Достраиваем к отрезку А4В4 квадрат А4В4С4D4. Проекции С1 и D1 принадлежат S1. Проекции С2 и D2 строятся по правилам замены плоскостей проекций. У этой задачи есть второе решение – квадрат, симметричный построенному относительно прямой (АВ). Это второе решение можно построить, не пользуясь проекцией на плоскость П4 сразу на плоскостях П2 и П1.

Линии наибольшего наклона

 

Приведем известную в начертательной геометрии теорему: прямые в плоскости, перпендикулярные ее линиям уровня, являются линиями наибольшего наклона этой плоскости к плоскостям проекций. Эта теорема позволяет выполнять построения линий наибольшего наклона на КЧ.

Задача. Дана плоскостьΣ(ΔАВС). Построить ее линии наибольшего наклона относительно плоскостей проекций П1 и П2 (рис. 7.6), проходящие через вершину В. Алгоритм проекционного решения задачи будет следующим:

1) строятся в плоскости Σ линии уровня h(h1,h2) и f(f1,f2), где h2 // х, f1 // х;

2) строится вначале m2 ' B2,m2^ f2, затем m1;

3) строится вначалеn1 ' B1, n1 ^ h1, затем n2.

Линия m(m1,m2) определяет наибольший наклон плоскости Σ к плоскости проекций П2, а линия n(n1,n2) определяет наибольший наклон плоскости Σ к плоскости проекций П1.

 

 

Определение расстояний

 

Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

 

Определение углов

Между фигурами

 

Фигуры пространства: прямые линии, плоскости, прямые и плоскости могут образовывать между собой углы – геометрические фигуры с соответствующими этим фигурам величинами. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в начертательной геометрии углы.

 

Углы между прямыми

 

Приведем известные из школьного курса стереометрии понятия и определения, необходимые для решения последующих метрических задач:

1) плоский угол – фигура, образованная двумя лучами с общим началом и одной

из плоских областей, ограниченной ими;

2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских

углов, образованных этими прямыми;

3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися

прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

В последнем определении величина угла между двумя скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им. Рассмотрим несколько задач на определение углов.

Задача. Даны пересекающиеся отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Определить угол между ними.

Поскольку искомый угол является плоской фигурой, то решение задачи сводится к определению НВ плоской фигуры. Ее проекционное решение изложено в п. 1. Напомним алгоритм этого решения. Он основан на методе замены плоскостей проекций и применительно к условиям данной задачи может быть следующим:

1) строится линия уровня, например, h(h1,h2), принадлежащая плоскости Σ(АВ, АС), при этом h2 // х;

2) строится ось проекции x1^ h1 , что соответствует введению в пространстве новой системы плоскостей проекций П1, П4, где П4 ^ h;

3) на П4 строится вырожденная проекция В4С4 плоскости Σ;

4) строится ось проекции x2 // В4С4 , что соответствует введению в пространстве

новой системы плоскостей проекций П4 , П5 , где П5 // Σ;

5) на П5 строится угол Ð(А5С5 , А5В5 ) = a, который и является искомым.

Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить угол между ними.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 404; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.166.223.204 (0.186 с.)