Система единиц и принятые обозначения.

В методическом указании используется международная система единиц СИ. Обозначение величин:

· Система координат — правая, продольная ось — Z, оси в поперечном сечении — X, Y.

· Нагрузка, внешняя сила — F.

· Площадь поперечного сечения — А.

· Внутренняя продольная сила— N(z).

· Нормальное напряжение — (z).

· Допускаемое номинальное напряжение — [ ]

· Модуль упругости первого рода — Е.

· Жесткость бруса — ЕА.

· Линейное перемещение поперечного сечения — λ(z).

 

Таблица 2.5.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЗАДАЧАМ

№	Наименование величин	Ед. изм.	Варианты исходных данных,
1.	Длина элемента (l)	м.	1,0	1,2	1,4	1,5	1,6	1,8	2,0	0,5	0,6	0,8
2.	Интенсивность распределенной нагрузки (q)	кН/м
3.	Углы стержневой системе	<Р,	град
(р2
4.	Пара сил (т)	кНм
5.	Сосредоточенная сила (F)	кН

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №1.

Задача №1.

Усло вие:

Стальной ступенчатый брус нагружен системой сосредоточенных сил действующих вдоль оси, как показано на рис. 2.2.

Требуетс я:

· Определить продольные силы, нормальные напряжения и линейные перемещения поперечных сечений бруса.

· Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений N(z); (z); λ(z).

· Из расчёта на прочность определить размеры поперечных сечений каждой ступени, принимая их сплошными, круглыми.

Исходные данные:

· Нагрузка F = 60 кН;

· Длина l=1,2 м;

· Допускаемое напряжение [ ] = 140 МПа;

· Модуль упругости Е = 2 10⁵ МПа.

Решение:

· Определение продольных сил и построение эпюры N=f(z).Мысленно отбросив опору и заменив ее силой реакции R_E, составляем уравнение равновесия для бруса, из которого определяем реакцию в заделке. Реакцию предполагаем растягивающей (рис. 2.2.6).

Σ F+2F-

Знак «плюс» обозначает, что предполагаемое направление реакции правильное.

Брус имеет три участка. Границами участков служат точки приложения сил. Нумеруем участки. Продольные силы определяем методом сечений. Неизвестную продольную силу в сечении предполагаем растягивающей (рис. 2.2.в).

 

УЧАСТОК, сечение 1-1

ZF_iz=0; -N(z)+F=0; N₁ (z)=F (растяжения).

· УЧАСТОК, сечение 2-2

-N₂(z)-2,5F+F=0; N₂(z)=F-2,5F=-1.5F (сжатия)

· УЧАСТОК, сечение 3-3

-R_e+N₃(z)=0; N₃(z)= R_e=0,5F (растяжения).

По найденным значениям строим эпюру продольных сил, т.е. график N(z). При этом принимают определенный масштаб, как по длине бруса, так и для ординат. На рисунке 1(г) одна единица длины l принята 25 мм, а единица силы F-10мм.

2. Определение напряжений и построение эпюры σ (z). Поскольку продольные силы на участках постоянные, но и нормальные напряжения в любом сечении участка будут одинаковы. Напомним, что при осевом растяжении или сжатии в самом поперечном сечении нормальные напряжения распределены равномерно.

· УЧАСТОК σ₁ (z) =N₁ (z)/А₁=F/A;

· УЧАСТОК σ₂ (z)= N2(z)/A₂=-1,5F/2A=-0,75F/A;

· УЧАСТОК σ₃(z)=N₃(z)/A₃=0,5F/2A= 0,25F/A;

По найденным значениям строим эпюру (рис. 1.д). При этом принимаем определенный масштаб для напряжений. Например, одна единица напряжения F/A принята равной 20 мм на чертеже.

3. Определение перемещения поперечных сечений и построения эпюры λ(z).

Определим перемещения характерных сечений, т.е. сечений на границах участков В, С, D, Е.. Сразу же отметим, что перемещение сечения Е (заделки) равно нулю.

∆λ(z)=0

Перемещение остальных точек удобно определить го отношению к неподвижному сечению.

∆λ_Е(z)=0

3 УЧАСТОК: 0≤Z₃≤ l ;

∆λ_D(z)=λ_E(z)+∆l₃(z)=0+N₃(z)·Z₃/E·A₃=0,5F·Z₃/E·2A=0,25F·Z₃/E·A

При постоянных продольных силах перемещения линейно зависят от расстояния. Поэтому достаточно вычислить перемещения в двух точках в начале и конце участка.

∆λ_D(Z₃=0)=0 ∆λ_D(Z₃=l)=0,25F·l/EA;

2 УЧАСТОК: 0≤Z₂≤l;

∆λ_C(z)=∆λ_D(z=l)+∆l₂(z)=0,25F·l/EA+N₂(z)·Z₂/E·A₂=0,25F·l/EA+1,5F·Z/E·2A;

∆λ_C(0)=0,25F·l/EA; ∆λ_C(l)=-0,5F·l/EA;

1 УЧАСТОК: 0≤ Z₁ ≤2l;

∆λ_B(z)=∆λ_C(l)+∆l₁(z)=-0,5F·l/EA+N₁(z)·Z₁/E·A₁=-0,5F·l/Ea+F·Z₁/E·A;

∆λ_B(0)=-0,5F·l/EA;

∆λ(2l)=-0,5F·l/EA+F·2l/EA=1,5F·l/EA;

По этим данным строим эпюру ∆λ(Z ), причём для ординат ∆λ(Z) принят также определённый масштаб. На рис. 2.2. е одна единица перемещения F ·l/EA принята равным 25 мм на чертеже.

Эпюры ∆λ(Z ) используются в расчетах на жесткость. Вычисляем перемещение свободного конца бруса:

∆λ_B(z)= 1,5F·l/EA=1,5 (60-1,2)/(2·10³·430) =54/(43·10⁶)

где площадь поперечного сечения принята А=430 мм².

4. Определение размеров поперечного сечение бруса.

По эпюре напряжения (рисЛ.д) видно, что наибольшие напряжения возникают на первом участке, причем все сечения здесь рав- ноопасны. Запишем условие прочности для первого участка:

σ_max≤[σ]; F/A≤[σ]

Из условия прочности определяем площади поперечных сечений бруса и их диаметры.

A≥F[σ]60·10³/140=428,5мм² принимаем А=430мм².

 

A₁=A=430 мм²

d₁= = =23,4мм

d₂= = =33мм

 

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №2. Задача №2.

У словие:

Абсолютно жесткий брус АВ укреплен в точке В шарнирно к стене, а в точке А с помощью трех стержней подвешен к верх- Нл'й опоре (рис 2.3.а). Крепления всех стержней шарнирные. Поперечные сечения стержней указаны на рисунке. На брус АВ действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q.

Требуется:

1. Определить размеры поперечных сечений стержней 1, 2, 3, на условиях их равнопрочности.

Исходные данные:

- Интенсивность

распределенной нагрузки q= 50кН/м

- Длина I = 1,2 м

Углы стержней в системе

-

-

- Допускаемое напряжение

для материала стержней Е=2* мм

 

Решение.

1. Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса

АВ. Для этого отбросим связи и заменим их силами реакций. В точке В имеем две составляющие реакции, а в точке А реакция направлена по стержню 1 (рис2.2.б). Таким образом, на брус действует плоская система сил N,, В_х,В_у,2ql, для которой можно составить три уравнения равновесия. Этих уравнений достаточно для определения трех неизвестных усилий.

 

1.

2.

 

3.

В связи с тем, что в задаче не требуется определить реакцию в шарнире В, для определения усилия в стержне 1 дос­таточно воспользоваться одним уравнением моментов относи­тельно точки В, из которого:

kH

 

2.Рассмотрим равновесие точки О. Для чего также ос­вободим ее от связей, а вместо них приложим силы реакций (рис 2.2.в). Точка О находится, в равновесии под действием трех схо­дящихся сил Nj, N₂, N₃. Для такой системы можно составить два уравнения равновесия, что будет достаточно для определе­ния усилий N₂, N₃.

Выбираем систему координат. Так как углы<р, и ср₂ в сумме составляют 90°, то удобно оси X и Yнаправить по на­правлению усилий N₂и N₃.

Откуда:

=82,1kH

3. Используя условия прочности, определяем площади поперечных сечений стержней 1, 2, 3 и их размеры:

σ=

 

a=24,2мм

 

d=14,2мм

40X40X4(по ГОСТ8239-72)

a)

Рис. 2.3.

 

2.6. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №3.

 

Задача №3.

Условие:

Стальной стержень с постоянной жесткостью EA-c.onst. нагру­жен системой сосредоточенных сил и распределенной, дейст­вующей вдоль оси, нагрузкой (рис. 2.4.).

Требуется:

1. Определить и построить эпюры продольной силы N(z)ли­нейного перемещения A(z).Из расчета на прочность определить размеры поперечного сечения стержня, принимая его круглым.

2. Определить полную деформацию.

Ч

Дано:

- q=45 кН,

- 1=1,5 м, Е=2 10⁵ мПа.

- -

Найти:

N(z), A(z).:A_be(z), d=?

Рис. 2.4

Решение:

Для решения данной задачи применим метод сечений, но сначала определим реакцию опоры Z_Bиз уравнения:

-ql — 3ql- 3ql+ 2ql + Z_B= 0, Z_B=5ql. Разделим тело на три участка — ВС - первый, CD- второй, DE- третий.

На каждом из участков проведем сечение перпендикуляр­ное оси z.

Рассмотрим первый участок ВС:

 

Отбрасываем левую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N₁(z₁), где 0 ≤ z₁ ≤ l. Определим N₁(z₁)

-

 

 

=5gl

 

 

 

Рассмотрим второй участок CD:

 

Отбрасываем левую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N₂(z₂), где 0 <z₂< I. Оп­ределимN₂(z₂)

- +2gl+ =0

 

 

=5gl;

 

 

Рассмотрим третий участок DE:

 

 

Отбрасываем правую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N₃(z.₃), где 0<z₃</- Опре­делим

N₃(z₃)-ql-qz₃=0

N₃(z₃) =ql + qz₃ N₃(o)=ql N₃(l)=ql +ql = 2ql

Определим удлинение стержня:

Для этого примем удлинение точки В равным нулю, то есть Х_в=0, тогда удлинение точки С можно представить в виде:

=0+ = =

= 0;

 

 

Удлинение точки D:

=6,1 *(-gl

 

;

Определим диаметр поперечного сечения:

Условие прочности при растяжении и сжатии:

(T_imx (z) < -——— < [<т], где А площадь поперечного сечения А

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №4

Задача №4

Условие:

Стальной стержень с постоянной жесткостью EA=const. нагружен системой сосредоточенныхcwiи распределенной действующей вдоль оси, нагрузкой (рис. 2.6.).

Треб уе тся:

1. Определить и построить эпюры продольной силы N(z)линейного перемещения X(z).Из расчета на прочность определить размеры поперечного сечения стержня, принимая его круглым. Определить полную деформацию

Дано:

- q = 45 кН,

- I = 1.5 м, Е = 210^sмПа.

- [а_ст] = 140 мПа.

Найти:

N(z), Mz), A_fJz),d=?

 

 

Решение:

Для решения данной задачи применим метод сечений, но сначала определим результирующую силу Gраспределенной на­грузки:

G=

Определим реакцию опоры Z_Bиз уравнения:

7gl-gl-

Разделим тело на два участка – ВС – первый, СD – второй. На каждой из участков проведем сечение перпендикулярное оси z.