ТОП 10:

СИСТЕМА ЕДИНИЦ И ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.



В методическом указании используется международная система единиц СИ. Обозначение величин:

· Система координат — правая, продольная ось — Z, оси в поперечном сечении — X, Y.

· Нагрузка, внешняя сила — F.

· Площадь поперечного сечения — А.

· Внутренняя продольная сила— N(z).

· Нормальное напряжение — (z).

· Допускаемое номинальное напряжение — [ ]

· Модуль упругости первого рода — Е.

· Жесткость бруса — ЕА.

· Линейное перемещение поперечного сечения — λ(z).

 

Таблица 2.5.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЗАДАЧАМ

Наименование величин Ед. изм. Варианты исходных данных ,
1. Длина элемента (l) м. 1,0 1,2 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 0,5 0,6 0,8
2. Интенсивность распределенной нагрузки (q) кН/м
3. Углы стержневой системе <Р, град
2
4. Пара сил (т) кНм
5. Сосредоточенная сила (F) кН

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №1.

Задача №1.

Условие:

Стальной ступенчатый брус нагружен системой сосредоточенных сил действующих вдоль оси, как показано на рис. 2.2.

Требуется:

· Определить продольные силы, нормальные напряжения и линейные перемещения поперечных сечений бруса.

· Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений N(z); (z); λ(z).

· Из расчёта на прочность определить размеры поперечных сечений каждой ступени, принимая их сплошными, круглыми.

Исходные данные:

· Нагрузка F = 60 кН;

· Длина l=1,2 м;

· Допускаемое напряжение [ ] = 140 МПа;

· Модуль упругости Е = 2 105 МПа.

Решение:

· Определение продольных сил и построение эпюры N=f(z).Мысленно отбросив опору и заменив ее силой реакции RE, составляем уравнение равновесия для бруса, из которого определяем реакцию в заделке. Реакцию предполагаем растягивающей (рис. 2.2.6).

Σ F+2F-

Знак «плюс» обозначает, что предполагаемое направление реакции правильное.

Брус имеет три участка. Границами участков служат точки приложения сил. Нумеруем участки. Продольные силы определяем методом сечений. Неизвестную продольную силу в сечении предполагаем растягивающей (рис. 2.2.в).

 

УЧАСТОК, сечение 1-1

ZFiz=0; -N(z)+F=0; N1 (z)=F (растяжения).

· УЧАСТОК, сечение 2-2

-N2(z)-2,5F+F=0; N2(z)=F-2,5F=-1.5F (сжатия)

· УЧАСТОК, сечение 3-3

-Re+N3(z)=0; N3(z)= Re=0,5F (растяжения).

По найденным значениям строим эпюру продольных сил, т.е. график N(z). При этом принимают определенный масштаб, как по длине бруса, так и для ординат. На рисунке 1(г) одна единица длины l принята 25 мм, а единица силы F-10мм.

2. Определение напряжений и построение эпюры σ(z). Поскольку продольные силы на участках постоянные, но и нормальные напряжения в любом сечении участка будут одинаковы. Напомним, что при осевом растяжении или сжатии в самом поперечном сечении нормальные напряжения распределены равномерно.

· УЧАСТОК σ1 (z) =N1 (z)/А1=F/A;

· УЧАСТОК σ2 (z)= N2(z)/A2=-1,5F/2A=-0,75F/A;

· УЧАСТОК σ3(z)=N3(z)/A3=0,5F/2A= 0,25F/A;

По найденным значениям строим эпюру (рис. 1.д). При этом принимаем определенный масштаб для напряжений. Например, одна единица напряжения F/A принята равной 20 мм на чертеже.

3. Определение перемещения поперечных сечений и построения эпюры λ(z).

Определим перемещения характерных сечений, т.е. сечений на границах участков В, С, D, Е.. Сразу же отметим, что перемещение сечения Е (заделки) равно нулю.

∆λ(z)=0

Перемещение остальных точек удобно определить го отношению к неподвижному сечению.

∆λЕ(z)=0

3 УЧАСТОК: 0≤Z3l;

∆λD(z)=λE(z)+∆l3(z)=0+N3(z)·Z3/E·A3=0,5F·Z3/E·2A=0,25F·Z3/E·A

При постоянных продольных силах перемещения линейно зависят от расстояния. Поэтому достаточно вычислить перемещения в двух точках в начале и конце участка.

∆λD(Z3=0)=0 ∆λD(Z3=l)=0,25F·l/EA;

2 УЧАСТОК: 0≤Z2≤l;

∆λC(z)=∆λD(z=l)+∆l2(z)=0,25F·l/EA+N2(z)·Z2/E·A2=0,25F·l/EA+1,5F·Z/E·2A;

∆λC(0)=0,25F·l/EA; ∆λC(l)=-0,5F·l/EA;

1 УЧАСТОК: 0≤ Z1 ≤2l;

∆λB(z)=∆λC(l)+∆l1(z)=-0,5F·l/EA+N1(z)·Z1/E·A1=-0,5F·l/Ea+F·Z1/E·A;

∆λB(0)=-0,5F·l/EA;

∆λ(2l)=-0,5F·l/EA+F·2l/EA=1,5F·l/EA;

По этим данным строим эпюру ∆λ(Z),причём для ординат ∆λ(Z) принят также определённый масштаб. На рис.2.2.е одна единица перемещения F·l/EA принята равным25 мм на чертеже.

Эпюры ∆λ(Z) используются в расчетах на жесткость. Вычисляем перемещение свободного конца бруса:

∆λB(z)= 1,5F·l/EA=1,5 (60-1,2)/(2·103·430) =54/(43·106)

где площадь поперечного сечения принята А=430 мм2 .

4. Определение размеров поперечного сечение бруса.

По эпюре напряжения (рисЛ.д) видно, что наибольшие напряжения возникают на первом участке, причем все сечения здесь рав- ноопасны. Запишем условие прочности для первого участка:

σmax≤[σ]; F/A≤[σ]

Из условия прочности определяем площади поперечных сечений бруса и их диаметры.

A≥F[σ]60·103/140=428,5мм2 принимаем А=430мм2.

 

A1=A=430 мм2

d1= = =23,4мм

d2= = =33мм

 

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №2. Задача №2.

Условие:

Абсолютно жесткий брус АВ укреплен в точке В шарнирно к стене, а в точке А с помощью трех стержней подвешен к верх- Нл'й опоре (рис 2.3.а). Крепления всех стержней шарнирные. Поперечные сечения стержней указаны на рисунке. На брус АВ действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q.

Требуется:

1. Определить размеры поперечных сечений стержней 1, 2, 3, на условиях их равнопрочности.

Исходные данные:

- Интенсивность

распределенной нагрузки q= 50кН/м

- Длина I = 1,2 м

Углы стержней в системе

-

-

- Допускаемое напряжение

для материала стержней Е=2* мм

 

Решение.

1. Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса

АВ. Для этого отбросим связи и заменим их силами реакций. В точке В имеем две составляющие реакции, а в точке А реакция направлена по стержню 1 (рис2.2.б). Таким образом, на брус действует плоская система сил N, , Вху ,2ql, для которой можно составить три уравнения равновесия. Этих уравнений достаточно для определения трех неизвестных усилий.

 

1.

2.

 

3.

В связи с тем, что в задаче не требуется определить реакцию в шарнире В, для определения усилия в стержне 1 дос­таточно воспользоваться одним уравнением моментов относи­тельно точки В, из которого:

kH

 

2.Рассмотрим равновесие точки О. Для чего также ос­вободим ее от связей, а вместо них приложим силы реакций (рис 2.2.в). Точка О находится, в равновесии под действием трех схо­дящихся сил Nj, N2, N3. Для такой системы можно составить два уравнения равновесия, что будет достаточно для определе­ния усилий N2, N3.

Выбираем систему координат. Так как углы<р, и ср2 в сумме составляют 90°, то удобно оси X и Yнаправить по на­правлению усилий N2и N3.

Откуда:

=82,1kH

3. Используя условия прочности, определяем площади поперечных сечений стержней 1, 2, 3 и их размеры:

σ=

 

a=24,2мм

 

d=14,2мм

40X40X4(по ГОСТ8239-72)

a)

Рис. 2.3.


 

2.6. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №3.

 

Задача №3.

Условие:

Стальной стержень с постоянной жесткостью EA-c.onst. нагру­жен системой сосредоточенных сил и распределенной, дейст­вующей вдоль оси, нагрузкой (рис. 2.4.).

Требуется:

1. Определить и построить эпюры продольной силы N(z)ли­нейного перемещения A(z).Из расчета на прочность определить размеры поперечного сечения стержня, принимая его круглым.

2. Определить полную деформацию.

Ч

Дано:

- q=45 кН,

- 1=1,5 м, Е=2 105 мПа.

- -

Найти:

N(z), A(z).:Abe(z), d=?

Рис. 2.4

Решение:

Для решения данной задачи применим метод сечений, но сначала определим реакцию опоры ZBиз уравнения:

-ql — 3ql- 3ql+ 2ql + ZB= 0, ZB=5ql. Разделим тело на три участка — ВС - первый, CD- второй, DE- третий.

На каждом из участков проведем сечение перпендикуляр­ное оси z.

Рассмотрим первый участок ВС:


 

Отбрасываем левую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N1(z1), где 0 ≤ z1 ≤ l. Определим N1(z1)

-

 

 

=5gl

 

 

 

Рассмотрим второй участок CD:


 

Отбрасываем левую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N2(z2), где 0 <z2< I. Оп­ределимN2(z2)

- +2gl+ =0

 

 

=5gl;

 

 

Рассмотрим третий участок DE:

 

 

Отбрасываем правую часть участка, при этом в сечении возникает внутренняя продольная сила N3(z.3), где 0<z3</- Опре­делим

N3(z3)-ql-qz3=0

N3(z3) =ql + qz3 N3(o)=ql N3(l)=ql +ql = 2ql

Определим удлинение стержня:

Для этого примем удлинение точки В равным нулю, то есть Хв=0, тогда удлинение точки С можно представить в виде:

=0+ = =

= 0;

 

 

 
 

Удлинение точки D:

=6,1 *(-gl

 

;

Определим диаметр поперечного сечения:

Условие прочности при растяжении и сжатии:

(Timx (z) < -——— < [<т], где А площадь поперечного сечения А

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ №4

Задача №4

Условие:

Стальной стержень с постоянной жесткостью EA=const. нагружен системой сосредоточенныхcwiи распределенной действующей вдоль оси, нагрузкой (рис. 2.6.).

Требуется:

1. Определить и построить эпюры продольной силы N(z)линейного перемещения X(z).Из расчета на прочность определить размеры поперечного сечения стержня, принимая его круглым. Определить полную деформацию

Дано:

- q = 45 кН,

- I = 1.5 м, Е = 210sмПа.

- [аст] = 140 мПа.

Найти:

N(z), Mz), AfJz),d=?

 

 

Решение:

Для решения данной задачи применим метод сечений, но сначала определим результирующую силу Gраспределенной на­грузки:

G=

Определим реакцию опоры ZBиз уравнения:

7gl-gl-

Разделим тело на два участка – ВС – первый , СD – второй. На каждой из участков проведем сечение перпендикулярное оси z.







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.214.125 (0.026 с.)