Методы вычисления определителей любого порядка

 

Определение. Минором М_ij элемента а_ij определителя DА порядка n называется новый определитель порядка (n-1), полученный из данного после вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент а_ij.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя DА называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1)^i+j, т. е.

А_ij = (–1)^i+j × М_ij

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические элементы.

DА = а_i1 × A_i1 + а_i2 × A_i2 + … + а_in × A_in – разложение определителя по i-ой строке.

DА = а_1j × A_1j + а_2j × A_2j + … + а_nj × A_nj – разложение определителя по j-ому столбцу.

Разложение определителя по элементам ряда

Применяя разложение по строкам или столбцам к определителям порядка (n-1), (n-2) и т. д., можно свести вычисление определителя порядка n к вычислению конечного числа определителей 2-го порядка.

С целью упрощения вычислений, прежде чем применить разложение определителя по формулам, можно обратить в нуль все элементы некоторого его ряда за исключением одного, используя свойство 8 определителей. При этом в разложении останется единственное слагаемое.

Пример. Вычислить определитель

Решение.

Обратим все элементы первого столбца определителя в нуль, кроме первого (а₁₁ = 1). Для чего элементы первой строки умножим последовательно на (–3), (–1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки и разложим определитель по элементам первого столбца.

= 2 (а₁₁А₁₁ + а₂₁А₂₁ + а₃₁А₃₁ + а₄₁А₄₁).

Отличным от нуля является лишь первое слагаемое, поэтому

D = 2 × а₁₁А₁₁ = 2 × 1 × (–1)¹⁺¹ × М₁₁ = 2 .

Вычисляя определитель третьего порядка по правилу треугольников, окончательно получим: D = 2 × (–24) = –48.

 

2. Преобразование определителя к треугольному виду

Данный метод основан на использовании свойства 9 определителей.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Используя свойство 8, преобразуем определитель к треугольному виду, т. е. так, чтобы под его главной диагональю стояли нули.

Элементы первой строки умножим последовательно на (–3), (–1) и 2 и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строк.

Вынесем за знак определителя 2 – общий множитель элементов четвертой строки – и поменяем местами вторую и третью строки.

.

Вторую строку умножим последовательно на (–7) и 3 и сложим соответственно с третьей и четвертой строками.

.

Вынесем за знак определителя 3 и 2 – общие множители элементов третьей и четвертой строк соответственно.

.

К элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы третьей.

Перемножая элементы главной диагонали полученного треугольного определителя, окончательно получим:

D = –12 × 4 = – 48

Вычислить определители:

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. . 21. . 22. .

23. . 24. . 25. .

26. . 27. . 28. .

29. . 30. .

31. .

Обратная матрица

 

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется условие

А^-1 × А = А × А^-1 = Е.

Для составления обратной матрицы введем следующие понятия:

1. А^д – матрица дополнений, которая состоит из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы А.

2. А* – союзная или присоединенная матрица, которая является транспонированной для матрицы дополнений, т. е.

А* = (А^д)^т.

Теорема. Если матрица невырожденная, то обратная для нее матрица А^-1 вычисляется по формуле

.