Алгоритм построения обратной матрицы

Для построения матрицы А^-1, обратной матрице А, нужно:

1. Вычислить определитель матрицы А, причем det А ¹ 0

2. Найти алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А и составить матрицу дополнений А^д.

3. Составить союзную матрицу А*, транспонируя матрицу А^д.

4. Составить обратную матрицу

Пример. Найти обратную матрицу А^-1, если

А=

Решение.

Вычислим определитель матрицы А:

det A= = 10 ¹ 0

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

а₁₁ = 2, М₁₁ = = –4, А₁₁ = (–1)¹⁺¹ (–4) = –4

а₁₂ = 1, М₁₂ = = –21, А₁₂ = (–1)¹⁺² ×(–1) = 21

а₁₃ = 3, М₁₃ = = -1, А₁₃ = (–1)¹⁺³ ×1 = –1

а₂₁ = –1, М₂₁ = = –2, А₂₁ = (–1)²⁺¹× (–2) = 2

а₂₂ = 0, М₂₂ = =–13, А₂₂ = (–1)²⁺² × (–13) = –13

а₂₃ = 4, М₂₃ = = –3, А₂₃ = (–1)²⁺³ × (–3) = 3

а₃₁ = 5, М₃₁ = = 4, А₃₁ = (–1)³⁺¹× 4 = 4

а₃₂ = 1, М₃₂ = = 11, А₃₂ = (–1)³⁺² × 11 = –11

а₃₃ = 1, М₃₃ = = 1, А₃₃ = (–1)³⁺³ × 1 = 1

Составим матрицу дополнений

А^д = .

Найдем союзную матрицу

А* = (А^д)^т = .

Построим обратную матрицу

.

Найти обратную матрицу для следующих матриц:

32. . 33. . 34. .

35. . 36. . 37. .

38. . 39. . 40. .

41. . 42. . 43. .

 

Простейшие матричные уравнения

 

Рассмотрим матрицы

; ; ,

причем элементы матриц А и В заданы, а Х₁, Х₂, Х₃ – неизвестные.

Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением.

Чтобы его решить, т. е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:

1. Умножим обе части уравнения на матрицу А^-1, обратную для матрицы А, слева:

А^-1 (А × Х) = А^-1 × В.

2. Используя свойство умножения матриц, запишем

(А^-1 × А) Х = А^-1 × В.

3. Из определения обратной матрицы

(А^-1 × А = Е) имеем Е × Х = А^-1 × В.

4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А^-1 × В.

Замечание. Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С^-1 справа.

Пример. Решить матричное уравнение

.

Решение. Введем обозначения

А = ; В = .

Из определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид

Х = .

С учетом введенных обозначений имеем

А × Х = В, откуда Х = А^-1 × В.

Найдем А^-1 по алгоритму (см.)

 

Вычислим произведение

Тогда для Х получим

Х = откуда х₁ = 3, х₂ = 2

Решить матричные уравнения:

44. . 45. .

46. . 47. .

48. . 49. X .

50. .

51. .

52. .

 

Ранг матрицы

 

Рассмотрим матрицу А размера (m x n)

.

Минором k-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых k строк и любых k столбцов. Очевидно k £ min (m, n).

Определение. Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

Определени е. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными.

Вычисление ранга матрицы

Определение. Матрица называется ступенчатой, если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы, которые не изменяют ее ранга.

Умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;

– замена строк столбцами и наоборот;

– перестановка местами параллельных рядов;

– вычеркивание нулевого ряда;

– прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Пример. Вычислить ранг матрицы

А =

Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–3).

А ~ .

 

К четвертой строке прибавим третью.

А ~

Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно, r(А) = 3.

Определить ранг матрицы:

53. . 54. .

55. . 56. .

57. . 58. .