Понятие общего решения системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений (2) и будем считать, что она совместна, т.е. r(А) = r(В) = r и пусть r< n.

Рассмотрим какой-нибудь базисный минор основной матрицы А, выделим в нем произвольную строку, элементы которой есть коэффициент при r неизвестных в одном из уравнений системы. Эти неизвестные, например, х₁, х₂, …, х_r, назовем базисными, тогда остальные (n-r) неизвестных, т.е. х_r+1, х_r+2, …, х_n назовем свободными переменными.

Выразим все базисные неизвестные через свободные в выбранной системе r уравнений, получим:

Присвоим свободным переменным произвольные действительные значения с_i, где , тогда получим общее решение системы уравнений (х₁, х₂, …, х_r, с₁, с₂, …, с_n-r)

Количество наборов r базисных неизвестных из n переменных определяется числом базисных миноров.

Пример. Исследовать систему уравнений на совместность и найти ее общее решение.

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3 х₄ = 1

2х₁ - х₂ + 2х₃ - х₄ = 0

5х₁ + 3х₂ + 8х₃ + х₄ = 1

Решение. Определим ранги матриц А и В, для чего выпишем расширенную матрицу В и приведем ее к ступенчатому виду

В =

Умножим последовательно первую строку на (-2) и (-5) и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим эквивалентную матрицу

В ~

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2), тогда

В ~

Число ненулевых строк матриц А и В равно двум, r(А) = r(В) = r = 2, следовательно по теореме Кронекера-Капелли система совместна, но т. к. r = 2 < n = 4, она имеет бесконечное множество решений.

Ранг системы r = 2, а это значит, что базисные миноры матрицы А имеют порядок, равный двум, каждый из которых определяет набор базисных неизвестных.

Выпишем базисные миноры матрицы А

М₁ = = –1 ¹ 0, х₁, х₂ – первый набор базисных неизвестных;

М₂ = = –6 ¹ 0, х₁, х₃ – второй набор базисных неизвестных;

М₃ = = –7 ¹ 0, х₁, х₄ – третий набор базисных неизвестных;

М₄ = = 14 ¹ 0, х₂, х₃ – четвертый набор базисных неизвестных;

М₅ = = –2 ¹ 0, х₂, х₄ – пятый набор базисных неизвестных;

М₆ = = –10 ¹ 0, х₃, х₄ – шестой набор базисных неизвестных.

Таким образом, существует шесть вариантов общего решения системы уравнений.

Для примера рассмотрим первый вариант, соответствующий базисному минору М₁.

а) х₁ и х₂ – базисные неизвестные; х₃ и х₄ – свободные переменные. Пусть х₃ = с₁, х₄ = с₂, с₁, с₂ Î R.

Из ступенчатой матрицы В восстановим систему уравнений, равносильную исходной

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 1

-11х₂ - 6х₃ - 7х₄ = -2

Умножим второе уравнение на (–1) и с учетом введенных обозначений перепишем систему в виде

х₁ + 5х₂ = 1 - 4с₁ - 3с₂

11х₂ = 2 - 6с₁ - 7с₂

Выразим базисные неизвестные х₁ и х₂ через свободные переменные. Так как система уравнений имеет треугольный вид, ее удобно решать методом Гаусса.

Из последнего уравнения находим

.

Подставляя это значение х₂ в первое уравнение для х₁, получим

.

Таким образом, первый вариант общего решения будет иметь вид

.

Исследовать совместность системы уравнений и найти ее общее решение:

 

91. 92.

93. . 94. .

95. . 96. .

97. . 98. .

99. .

100. .

 

Ответы

1. ; 2. ; 3. 49;

4. АВ = , ВА = ; 5. ; 6. ; 7. 7;

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ( АВ)·С=А·(ВС)= ;

13. А·В·С = , А·С·В не существует, В·А·С не существует, В·С·А = , С·А·В = , С·В·А не существует; 14. –25; 15. 14; 16. –36; 17. –1; 18. –20; 19. 5; 20. –3; 21. 6; 22. 16; 23. –360; 24. 117; 25. 234; 26. 0; 27. 21; 28. –230; 29. –222; 30. –322; 31. 57; 32. ;

33. ; 34. ; 35. ; 36. ;

37. ; 38. ; 39. ;

40. ; 41. ;

42. ; 43. ;

44. ; 45. ; 46. ;

47. ; 48. ; 49. ; 50.

51. ; 52. ; 53. 2; 54. 2; 55. 3; 56. 4; 57. 2;

58. r = 1, если а = 1; r = 2, если а = –2; r = 3, если а ¹ 1 и а ¹ –2;

59. (3; 1; 1); 60. (1; 4; –2); 61. (–1; 0; 1); 62. (1; –1; 2); 63. (1; 3; 4);

64. (0; 1; 2); 65. (1; 1; 2); 66. (1; 1; 1); 67. (1; 2; 3); 68. (2; 0; 1); 69. ;

70. Бесконечное множество решений; 71. (2; 1; –1; 3);

72. (1; 1; 2; –1); 73. (1; 2; 3; 4); 74. (–2; 0; 2; 1); 75. (3; 2; 1); 76. (2; 1; 2);

77. (–2; 2; 1); 78. (1; 3; –2); 79. (1; 0; 3); 80. (2; 4; 3); 81. (2; –1; 2; 1);

82. (1; –4; 2; –3); 83. (1; 1; –1; –1); 84. (2; 1; 1; 1);

85. (–1; –3; 4); 86. (–1; 3; 1); 87. (–9; –10; 13); 88. (3; 1; 2); 89. (1; 1; –1; –1);

90. (3; 2; 0; 1); 91. r = 2,(2 + с₁ – 2с₂; 1 – 2с₁ – с₂; с₁; с₂);

92. r = 2, (8 – 9с₁ – 4с₂; с₁; с₂; –10 + 11с₁ + 5с₂);

93. r = 2, ( с₁;с₂; 11с₁ – 11с₂ – 11;–8с_{1 +} 8с₂ + 8);

94. r = 3, (2 + с₁ – 1 – 2с; 2с; с); 95. Несовместна;

96. r = 3, (5 – 2с; (7 – 5с; с; (4 – 5с)); 97. r = 3, (1; –2; 1);

98. Несовместна; 99. r = 2, (с₁; с₂; – 6 + 5с₁ + с₂ – с₃; с₃; –1 + с₁);

100. r = 3, (–9 – с₁ – с₂; с₁; с₂; –7 + 2с₂; 3 + 2с₂).

 

 

Список рекомендуемой литературы

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. проф. Н.Ш. Крамера. – М., 1997.

2. Общий курс высшей математики для экономистов /Под ред. проф. В.И. Ермакова. – М., 2001.

3. Щипачев В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. – М., 2001.

6. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. проф. В.И. Ермакова. – М., 2002.

 

 

 

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

 

 

Составители: Коровин Анатолий Геннадьевич

Кокорина Елена Васильевна

 

 

Редактор Н.С. Шубина

Компьютерный набор Н.М. Болотова

 

 

Сдано в набор 21.04.2005. Подписано к печати 28.06.2005.

Формат 60х84 1/16. Бумага Data Copy.

Гарнитура Таймс.

Усл.-печ.л. 2,5.

Тираж экз. Заказ №.

 

Нижегородский коммерческий институт

603140, г. Н. Новгород, пр. Ленина, 27.