Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.

Розглянемо пару двоїстих задач ЛП (1) – (3) і (1)* - (3)*, пряма задача якої записана у канонічному вигляді. Наступна теорема встановлює взаємозв’язок між розв’язками прямої і двоїстої задачами.

Теорема 3. Якщо пряма задача ЛП має оптимальний план Х*, отриманий симплекс методом, то оптимальний план Y* двоїстої задачі визначається за формулою:

Y*=C_базР^-1 (4)

де C_баз – вектор рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при невідомих, які є базисними в оптимальному плані; Р^-1 – матриця, обернена до матриці Р, складеної з компонент базисних векторів оптимального плану задачі.

Таким чином, якщо знайти симплекс методом оптимальний план задачі (1) –(3), то використовуючи останню симплекс таблицю, можна визначити C_баз і Р^-1 та за допомогою співвідношення (5.4), знайти план двоїстої задачі.

Відмітимо, що існує взаємно-однозначна відповідність між змінними: основним змінним прямої задачі відповідають додаткові змінні двоїстої задачі і навпаки:

Змінні прямої задачі
Основні	Додаткові
Х1	Х2	……..	Хк	Хк+1	Хк+2	……….	Хn
Yn-k+1	Yn-k+2	……..	Yn	Y1	Y2	………	Yn-k
Додаткові	Основні
Змінні двоїстої задачі

 

Ідея двоїстого симплексного методу полягає у зв’язку між розв’язуваннями прямої та двоїстої задач ЛП. Немає потреби окремо розв’язувати пряму задачу, а окремо двоїсту, оскільки розв’язок обох задач можна знайти за одними й тими самими симплекс таблицями, пам’ятаючи, що невідомим прямої задачі відповідають стовпчики таблиці, а невідомим другої – рядки таблиці.

Двоїстий симплекс метод використовується для знаходження розв’язку задачі ЛП, записаної у канонічному вигляді, для якої серед векторів Р_j, складених з коефіцієнтів при невідомих у системі рівнянь, є рівно m одиничних.

Також цей метод можна використовувати для знаходження розв’язку задач ЛП, коли вільні члени системи рівнянь є довільними числами (для розв’язування задач симплекс методом числа b_i припускались невід’ємними).

 

 

Питання для самоконтролю.

1. Нехай є задача про оптимальне використання ресурсів. Дайте економічну інтерпретацію двоїстої задачі.

2. Сформулюйте першу теорему двоїстості.

3. Сформулюйте другу теорему двоїстості.

4. Перечисліть ознаки взаємно двоїстих задач.

5. Як по рішенню прямої задачі знайти рішення двоїстої задачі.

6. В чому полягає ідея двоїстого симплекс методу.

7. Який економічний зміст основних змінних двоїстої задачі?

8. Який економічний зміст додаткових змінних двоїстої задачі?

9. Який економічний зміст перевірки системи обмежень прямої задачі для знайденого оптимального плану?

10. Що дає перевірка обмежень двоїстої задачі?

11. Як проводиться аналіз стовбців останньої симплекс таблиці, для яких Δ_i>0?

 

 

Тема 5. Цілочислові задачі лінійного програмування

Тема 6. Елементи нелінійного програмування

Лекція 6.

Тема лекції: Задачі нелінійного програмування

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач цілочислового програмування методом Гоморі та з основними методами розв’язування задач нелінійного програмування.

План лекції

1. Задачі дробово-лінійного програмування.

2. Задачі цілочислового програмування.

3. Класичні методи розв’язування задач нелінійного програмування.

4. Метод множників Лагранжа.

5. Задачі опуклого прогрмування.

 

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2. Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К.: «Слово», 2008. – 296 с.

3. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.