Представлення задач ЛП в матричній та векторній формі.

f(x)= c₁x₁ + c₂x₂ + …. + c_nx_n →extr (max/min) (1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ….. +a_1nx_n{ ≤ = ≥ }b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₃₃x₃ + …..+ a_2nx_n{ ≤ = ≥ }b₂

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n{ ≤ = ≥ }b_k (2)

a_m.1x₁ + a_m.2x₂ + a_m.3x₃ + a_m.nx_n { ≤ = ≥ } b_m

x_i≥0 i= 1,m (3)

Запишемо задачу ЛП в матричній формі:

f(x)=(c,x) →max (4)

при обмеженнях

АХ=В (5)

Х≥0 (6)

де (,) – скалярний добуток

А – матриця умов задачі

В – вектор обмежень (вектор вільних членів задачі)

Х – вектор невідомих змінних

С – вектор цільової функції.

Запишимо задачу ЛП в векторній формі:

F(x)=(c,x) →max (7)

x₁P₁ + x₂P₂ + x₃P₃ +…… + x_nP_n= P₀ (8)

X≥0 (9)

P₁= (a_11,a₂₁,а₃₁…….a_m1), P₂= (a_12,a₂₂,а₃₂…….a_m2), ……….. P_n= (a_1n,a_2n,а_3n…….a_nm),

P₀=(b₁,b₂, b_3……. b_m) – m-мерні вектор столбці.

2. Симплексний метод розв ’ язання задач ЛП. Теоретичні основи симплекс-метода.

Симплекс метод полягає в послідовних переходах від одних опорних планів до інших так, щоб значення цільової функції зростало (якщо задача ЛП задається на пошук максимуму) або на зменшення цільової функції (якщо задача ЛП задається на пошук мінімуму). Оскільки число опорних планів задачі скінченне, то через скінченне число кроків отримаємо оптимальний опорний план (якщо він існує, або впевненість, що цільова функція на множені планів необмежена).

Розглянемо два різновиди симплексного метода:

· Симплекс – метод із стандартним базисом;

· Симплекс метод із штучним базисом (М- метод).

Симплекс – метод із стандартним базисом

Для застосування цього методу розглянемо задачу ЛП у канонічному вигляді

 

Z=∑c_ix_i →max

за умов

х₁e₁+ х₂e₂+ х₃e₃ + ….. + х_me_m + х_m+1P_m+1 + ….. + х_nP_n=P₀, де

e_i – одиничні вектори, P_k = (a_1k, a_2k,….. a_mk) (k=m+1,m+2,…. n), P₀ = (b₁, b₂,… b_m)

Оскільки перші m векторів е_i одиничними, то легко бачити, що виконується рівність

b₁e₁+ b₂e₂+ b₃e₃ + ….. + b_me_m =P₀.

Тоді очевидним є початковий опорний план: X=(b₁,b₂,b₃, ….. b_m, 0….0), який перевіряємо на оптимальність. Для цього заповнюємо симплексну таблицю.

Таблиця 1.

i	базис	Сбаз	Р0	c1	c2	…	сm	cm+1	…	cn
P1	P2		Pm	Pm+1	…	Pn
	P1	c1	b1					a1m+1	…	a1n
	P2	c2	b2					a2m+1	…	a2n
…	…	…	...					…	…	…
m	Pm	сm	bm					amm+1	…	amn
		Δj						Δm+1	…	Δn

Усі рядки за винятком останнього рядка заповнюються за даними системи обмежень і цільової функції. Останній рядок обчислюється за формулою:

Δ_j=∑c_ia_ij – c_j, (j=1,2, …. n) і Δ₀=∑c_ib_i. Останній рядок називається індексним_.

Отриманий план перевіряють на оптимальність, зміст якої розкривається у наступних теоремах.

Теорема 1.

Якщо для деякого вектора P_j, який не входить у базис, виконується умова

Δ_j<0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на максимум)

або

Δ_j>0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на мінімум),

то можна отримати новий опорний план, для якого значення цільової функції f(x) буде більше (якщо f(x)→max),або менше (якщо f(x)→min) вихідного; при цьому можуть бути два випадки:

а) якщо координати вектора P_j, який необхідно ввести у базис, недодатні, то задача ЛП не має розв’язку;

б) якщо існує хоча б одна додатня координата вектора P_j, який необхідно ввести у базис, то можна отримати новий опорний план.

Теорема 2.

Якщо для всіх векторів P_j, виконується умова

Δ_j≥0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на максимум)

або

Δ_j≤0, (j=1,2,3…..n) (для задачі на мінімум),

то опорний план Х^*=((х₁)^*, (х₂)^*,......... (х_n)^*) є оптимальним.

Якщо після побудови симплекс-таблиці виявилось, що виконуються умови Т.1 (пункт а)), або Т.2 розв’язання задачі припиняється. Якщо виконуються умови Т.1 (пункт б)), то потрібно перейти до нового оптимального опорного плану, побудувавши наступну симплексну таблицю. Для переходу до нового опорного плану треба один вектор вивести з базису і на його місце ввести новий вектор, який не належить базису. У базис вводять вектор, якому відповідає найбільша за абсолютною величиною від’ємна оцінка Δ_j. Нехай існує така оцінка в k- му стовпці, тобто max| Δ_j | = Δ_k.

Δ_j≤0

Тоді вектор Р_к вводимо у новий базис. Для знаходження вектора Р_r, який необхідно вивести, обчислюють співвідношення

Q= min(b_i/a_ik) (i=1,2…..m),

мінімальне значення якого досягається при i=r. Елемент a_rk називається розв’язувальним.

Рядок Р_r і стовпець Р_к на перетині яких знаходиться розв ’ язувальний елемент a_rk, називають розв’язувальним. Для перерахунку елементів нової (наступної) симплекс – таблиці користуються методом Жордана – Гауса.

Метод штучної бази.

Застосовується у тих випадках, коли в вихідній задачі ЛП, яка записана у канонічному вигляді, в системі обмежень немає необхідної кількості одиничних ортогональних незалежних векторів P_j, тобто важко вказати початковий опорний план.

М-метод полягає у використанні правил симплекс – методу до так званої задачі ЛП. Вона отримується із початкової додованням до лівої частини системи рівнянь таких штучних одиничних векторів з відповідними невід’ємними штучними змінними, щоб знову отримати m одиничних ортогональних лінійно незалежних векторів.

У цільовій функції задачі ЛП штучні змінні мають коефіцієнт - М (f(x)→max) або +М (f(x)→min), де під М ми розуміємо досить велике додатне число.

При розв’язанні цієї задачі симплекс-методом оцінки Δ_j будуть залежити від М. Для порівняння оцінок, треба пам’ятати, що М – достатньо велике додатне число, тому із базису будуть виключатися у першу чергу штучні вектори.

Якщо із базису всі штучні вектори вийшли, то ми отримали вихідну задачу.

Якщо оптимальний розв’язок М – задачі містить штучні змінні або М – задача нерозв’язна, то початкова задача також нерозв’язна.

Питання для самоконтролю.

1. В чому полягає симплекс-метод із стандартним базисом?

2. Коли використовують симплекс-метод зі штучним базисом?

3. Принципи заповнення симплекс-таблиці.

4. Що таке розв’язувальний елемент симплекс-таблиці?

5. Як перевірити опорний план на оптимальність?

6. Поясніть метод Жордана-Гауса.

7. Що таке штучні змінні?

 

Лекція 4