Кількісні методи оцінки ризиків

Для прийняття рішення потрібно знати величину (ступінь) ризику, що вимірюється двома критеріями:

1.середне очікуване значення МХ= ΣР_i х_i

2. коливання (мінливість) можливого результату σ(х)= D^1/2(x)=(MX²- (Mx)²)^1/2

Приклад. Якщо відомо, що при вкладенні капіталу у захід А із 120 випадків прибуток у 12,5 тис. був отриманий 48 випадках (ймовірність 0,4=48/120), прибуток у 20 тис. у 42 випадках (ймовірність 0,35=42/120), і прибуток у 12 тис. у 30 випадках (ймовірність 0,25=30/120), то середне очікуване значення виразиться в 15тис.

МХ= ΣР_i х_i= 15.

Аналогічно буде знайдено, що при вкладенні капіталу в захід В середній прибуток становив 20 тис. (15х0,3+20х0,5+27,5х0,2=20).

Порівнюючи дві суми очікуваного прибутку при вкладенні капіталу у заходи А і В можна зробити висновки,що при вкладенні в захід А величина прибутку коливається від 12,5 до 20 тис. і середня величина становить 15 тис.

При вкладенні капіталу у захід В величина одержаного прибутку коливається від 15 тис. до 27,5 тис. і середня величина становить 20 тис.

Однак, для прийняття рішення необхідно так само виміряти коливання показників, тобто визначити міру мінливості можливого результату.

Коливання можливого результату являє собою ступінь відхилення очікуваного значення від середньої величини.

Для цього на практиці звичайно застосовують σ(х).

Коефіцієнт варіації γ=(σ/М)х100%.

Коефіцієнт варіації відносна величина. Чим більше коефіцієнт, тим сильніше коливання.

В економічній статистиці встановлена така оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

до 10% - слабке коливання;

10-25% - помірне коливання;

понад 25% - високе коливання.

Розглянемо як ілюстрацію вибір певною особою одного з двох вариантів інвестицій в умовах ризику.

Можливі такі випадки:

- M_a=M_b, σ_a< σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a< σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a= σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a> σ_b

- M_a<M_b, σ_a< σ_b.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи в залежатиме від становлення до ризику, особи яка приймає рішення (ОПР).

Приклад.

Характеристика ситуації	Проект А	Проект В
	Можливий дохід	Р	Можливий дохід	Р
Песиместична		0,2		0,25
Ймовірна	333,3	0,6		0,5
Оптимістична		0,2		0,25

Х_а=320, Х_в=320, σ_a=127, σ_b=185.

Таким чином, при однакових середніх очікуваних доходах коливання можливого результату в проекті В більше, тобто ризик проекту А менших, ніж проекту В.

Що стосується моделювання ризику, то тут використовується кілька класів математичних моделей і методів, зокрема: лінійне програмування; стохастичне програмування; теорія ігор; теорія нечітких множин і т.п. Статистичні ігри

Означення 1. Статистична гра – це матрична гра, один із гравців якої є природа.

Дії природи не носять характер свідомості проти водії. Природа розглядається як деяка незацікавлена сторона, стан якої заздалегідь невідомий. Гравцю необхідно прийняти рішення в умовах невизначеності. Ця невизначеність обумовлена відсутністю інформації о можливих станах природи. Аналіз статичної гри починається з формування платіжної матриці, в котрій з одного боку гравець А виступає як активна сторона, а гравцем В є природа. Тоді елемент платіжної матриці a_ij – це виграш гравця А при використанні їм стратегії A_i, коли природа знаходиться в стані S_j.

Задача аналізу статистичної гри полягає у тому, щоб вибрати таку стратегію, котра забезпечила би максимальний виграш гравцю А.

В деяких випадках від матриці виграшем слід переходити до матриці ризиків.

Означення 2. Ризик r_ij гравця А при використанні стратегії A_j, при умовах знаходження природи у стані S_j є різниця між виграшем котрий він би отримав якби він знав стан природи S_j та виграшем, котрий він отримає застосувавши стратегію A_j в умовах відсутності інформації о стані природи:

r_ij = β_j- a_ij, r_ij≥0,

де β_j=max a_ij

_{1 ≤i≤m}

Матриця ризиків дає більш наглядову картину невизначеності ситуації, так як із матриці ризиків R=(r_ij) видно, чим ризикує гравець А прийнявши ту чи іншу стратегію. Інакше, величина ризику – це розмір платні за відсутність інформації о стані природи.

Можливі три ступені невизначеності стану природи:

1. Задані q_j (j=1,2,3,….,n) ймовірності знаходження природи в кожному стані

2. Ймовірності станів природи q_j невідомі, однак можливо зробити припущення відносно іх значень.

3. Ймовірності q_j невідомі і зробити припущення відносно іх розподілу немає можливості.

Випадок 1. Рішення гравцем А приймається виходячі з принципу оптимальності у середньому. В якості оптимальної стратегії гравець А повинен вибрати таку стратегію, яка забеспечує йому максимальний середній виграш або мінімальний середній ризик:

S_ср=max () – максимальний середній виграш (1)

R_ср=min() – мінімальний середній ризик (2)

Умова (1) еквівалентна умові (2).

Приклад. Сільське господарче підприємство має можливість вирощувати одну з трьох культур: картоплю, буряк, кукурудзу. Прибуток від врожаю залежить від стану природи. Можливі слідуючи стани природи:

S₁ – літо жарке та сухе;

S₂ – літо жарке, але з прохолодою;

S₃ – літо жарке, але з дощем;

S₄ – літо прохолодне, але з дощем.

Підприємство може вибрати одну із стратегій:

А₁ – вирощувати картоплю;

А₂ – вирощувати буряк;

А₃ – вирощувати кукурудзу.

Прибуток з одного гектара для кожної із стратегії А = { А₁, А₂, А₃} та можливих погодних умов представлені у таблиці 9.1.

Платіжна матриця для задачі вибіру сільсько господарської культури. Таблиця 9.1.

Статегія підприємства	Стани природи
S1	S2	S3	S4
А1
А2
А3
βj

 

Згідно даних метеослужби за 10 років в цій місцевості стани погоди були такими:

S₁ – 1 раз; S₂ – 2 рази; S₃ – 5 разів; S₄- 2 рази.

На основі цих даних знаходимо оцінки ймовірностей для кожного стану природи: q₁ = 0,1; q₂ = 0.2; q₃ = 0.5; q₄ = 0.2. тоді розрахуємо середній максимальний виграш:

S_1,ср = 1*0.1 +4*0.2+5*0.5+9*0.2=5.2.

S_2,ср = 3*0.1 +8*0.2+4*0.5*9*0.2=4.5.

S_3,ср = 4*0.1+6*0.2+6*0.5+2*0.2= 5.

Максимальний виграш досягається на стратегії 1 і дорівнює 5,2, це говорить за те, що треба вирощувати картоплю.

Побудуємо матрицю ризиків (таблиця 2).

Таблиця 2

Статегія підприємства	Стани природи
S1	S2	S3	S4
А1
А2
А3
βj

Тоді

R_1,ср = 0.1*3+0.2*4+0.5*1+0*0.2=1.6

R_2,ср = 0.1*1+0.2*0+0.5*2+0.2*6=2.3

R_3,ср = 0.1*0+0.2*2+0.5*0+0.2*7=1.8.

Мінімальний ризик досягається на стратегії 1 і дорівнює 1,6, це говорить за те, що треба вирощувати картоплю.

Випадок 2. Включає три підходи.

1 підхід. Всі стани рівно ймовірні q₁ = q₂ = q₃ = q₄= …… =q_n

2 підхід. Всі стани природи розподіляються в порядку убутній степені правдоподібності. Таким чином получаємо ряд із станів, а потім цьому ряду ставиться в відповідності убутна послідовність чисел.

Наприклад, можна назначити ймовірності станів природи пропорційно членам убутної арифметичної послідовності: q_j = , де n – максимальний індекс стану.

3 підхід.. Для зниження впливу суб’єктивності при призначенні ймовірностей прибігають до методів експертної оцінки.

Випадок 3. При прийнятті рішення приходиться обмежитись інформацією, яка міститься у матриці виграшу. При виборі оптимальної стратегії виходять з того, що прагнуть отримати гарантований виграш.

Дамо декілька критеріїв оптимальності при виборі стратегії: максімакса, максимальний критерій Вальда, критерій мінімального ризику Севіджа, компромісний критерій Гурвіца.

Критерій максімакса:

: W()= maxmax a_ij

A_i S_j

Це критерій крайнього оптимізму.

Критерій Вальда:

 

: W()= maxmin a_ij

A_i S_j

Це критерій крайнього песимізму.

Критерій мінімального ризику Севіджа:

 

: R()= minmax a_ij

A_i S_j

Критерій Севіджа, як і критерій Вальда – критерій крайнього песимізму. Однак, при використанні цього критерію песиміз проявляється в тому, що понижується не мінімальний виграш, а максимальна втрата виграшу.

 

Критерій песимізму – оптимізму Гурвіца:

 

: H()= max{αmin a_ij + (1-α)max a_ij},

A_i S_j S_j

де 0≤α≤1. α- вибирається суб’єктивно в залежності від лиця, що приймає рішення (від його відношення до ризику). Чим блище α до 1, тим менший ризик, тобто α – міра песимізму.

При α=1 критерій Гурвіца співпадає з критерієм Вальда, при α=0 з критерієм крайнього оптимізму.

Вибір критерію базується на суб’єктивних оцінках. Перед прийняттям рішення необхідно проаналізувати статистичну гру по кількох критеріях. Якщо рекомендації по різних критеріях співпадають, то можна впевнено приймати рішення. У протилежному випадку по різних критеріях необхідно більш детальніше проаналізувати становище.

Приклад.

Є можливість побудувати 4 типа електростанцій:

А1 – на вугіллі;

А2 – на газі;

А3 – гідро;

А4 – АЕС.

Ефективність кожної електростанції залежить від багатьох факторів: ціни палива, його доставки, витрат на екологічні заходи та інші. Виділено 4 стани, кожний з котрих означає вплив цих факторів на ефективність функціонування станцій.

Платіжна матриця для задачі вибору типу електростанції. Таблиця 3.

Типи електростанцій	Стани природи
S1	S2	S3	S4
А1
А2
А3
А4

Необхідно вибрати оптимальний тип електростанції. Для вирішення задачі застосовуємо вище наведені критерії:

=A₂:W(A₂)= max{8,12,10,8}=12 –критерій максімакса

=A₃:W(A₃)= max{2,2,3,1}=3 – критерій Вальда

=A₃:R(A₃)= min{8,6,5,7}=5 – критерій Севіджа

=A₂: H(A₂)= max{0.5(8+2); 0.5(2+12); 0.5(3+10); 0.5(1+8)} – критерій Гурвіца при α=0,5.

Матриця ризиків для задачі вибору типу електростанції. Таблиця 4.

Типи електростанцій	Стани природи
S1	S2	S3	S4
А1
А2
А3
А4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Питання для самоконтролю.

1. Що таке невизначеність?

2. Що таке ризик?

3. Класифікація ризику.

4. Стратегія керування ризиком

5. Тактика керування ризиком.

6. Основні принципи керування ризиком.

7. Зв'язок ризику і прибутку.

8. Зв'язок ризику і втрати.

9. статистичне визначення ризику.

10. Які класи математичних моделей використовують при моделюванні ризику?