Момент инерции, теорема Штейнера

Моментом инерции I материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки m на квадрат ее расстояния r до оси

.

Моментом инерции I системы n материальных точек относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек системы

.

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом и массы , его момент инерции можно рассчитать как

,

(1)

где r – расстояние от элемента тела объемом до оси, относительно которой рассчитывается момент инерции.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Так как , где r – плотность тела в данной области , то формулу (2) можно записать в виде

.

Если тело однородно, т.е. , то

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему. Для примера найдем момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R относительно оси симметрии. Для этого тело мысленно разбиваем на тонкие концентрические слои толщиной (рис. 6), частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси.

 

Рис. 6. Разбиение цилиндра

 

Пусть радиус некоторого слоя r, тогда масса частиц, заключенных в этом слое, будет равна

,

где h – высота цилиндра, – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет

.

Момент инерции всего цилиндра

.

Поскольку масса цилиндра , то получим, что момент инерции равен

.

(2)

Из (2) следует, что момент инерции сплошного однородного цилиндра зависит только от его массы и радиуса и не зависит от высоты. Поэтому формула (2) применима для расчета момента инерции сплошного однородного диска относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера:

момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями

.

(3)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

Метод трифилярного подвеса

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 7).

Центры дисков расположены на одной вертикальной оси , вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси .

 

Рис. 7. Трифилярный подвес

 

При повороте нижнего диска на угол j вокруг оси его перемещение равно h (рис. 8), а приращение потенциальной энергии

,

где m – масса нижнего диска.

 

Рис. 8. Трифилярный подвес при повороте на угол φ0

Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его полная кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где I – момент инерции диска относительно оси , w – угловая скорость диска, – скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей (при малых углах поворота), пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол j его поворота изменяется со временем по гармоническому закону

,

где – амплитуда углового смещения, T – период колебаний диска.

Изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой обладает диск в момент прохождения положения равновесия, т.е.

,

где – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Из последнего равенства следует момент инерции диска

.

(4)

Поскольку угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

,

то, максимальная угловая скорость равна

.

(5)

Высоту h, на которую поднимается диск, можно определить из геометрических соображений (рис. 8)

.

(6)

Но

, .

(7) (8)

С учетом соотношений (7), (8) равенство (6) можно записать в виде

.

При малых углах можно считать, что , а . Таким образом

.

(9)

Подставляя (5), (7), (9) в (4) и заменяя в формуле радиусы дисков на диаметры, получим

.

(10)

Формулу (10) можно применять не только для расчета момента инерции диска относительно оси , но и для расчета момента инерции диска с грузами. Тогда момент инерции груза можно найти

,

(11)

Приборы и принадлежности

– Трифилярный подвес – 1 шт.

– Набор тел: цилиндр – 2 шт.

параллелепипед – 1 шт.

– Аналитические весы – 1 шт.

– Секундомер – 1 шт.

– Штангенциркуль – 1 шт.

Порядок выполнения работы

В ходе лабораторной работы определяются моменты инерции:

– ненагруженного диска;

– диска с грузами;

– грузов.