Основное уравнение динамики вращательного движения, момент силы, момент инерции

Пусть к материальной точке массы m приложена сила . Моментом силы относительно оси вращения называют вектор, определяемый формулой

.

Модуль этого вектора равен

, ,

где – составляющая силы в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, – вектор, проведенный от оси вращения к материальной точке (рис. 11, ось вращения проходит через точку О перпендикулярно к вектору ), – плечо силы (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения). Вектор направлен вдоль оси вращения.

Выражение для модуля вектора можно записать в другом виде, используя проекцию силы на направление касательной к окружности (обозначается ). Именно и вызывает вращательное движение материальной точки, создавая тангенциальное ускорение

 

Рис. 11. Момент сил, действующий на материальную точку массой m

 

Для абсолютно твердого тела, представляющего собой совокупность материальных точек массами dm, помимо векторной суммы моментов внешних сил , действующих на его материальные точки, между материальными точками этого тела действуют также и внутренние силы. Однако согласно третьему закону Ньютона векторная сумма моментов внутренних сил относительно оси вращения равна нулю, и поэтому

.

В итоге основной закон динамики вращательного движения для абсолютно твердого тела представляется в виде

,

(1)

который формулируется следующим образом:

произведение момента инерции тела относительно оси вращения на вектор углового ускорения равно векторной сумме моментов действующих на тело внешних сил относительно этой оси вращения.

Сравнивая (1) с выражением второго закона Ньютона для поступательного движения , можно заключить, что при вращательном движении роль силы F выполняет момент силы M, роль массы m – момент инерции I. Следовательно, момент инерции является мерой инертности вращающегося тела.

Маятник Обербека

Рис. 12. Маятник Обербека

 

Для проверки законов вращательного движения в данной работе используется маятник Обербека, схема которого изображена на рис. 12.

Маятник Обербека состоит из четырех стержней 2, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На стержнях закрепляются грузы 1, перемещая которые, можно менять момент инерции тела. На одной оси с маятником находится шкив 3 радиусом r. Гиря 4, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая наматывается на шкив 3. На основную гирю массой m могут надеваться дополнительные грузы массой .

Если на барабан, вращающийся относительно оси, проходящей через точку O, намотать шнур с привязанным к его концу грузом массы m, то, будучи представлена самой себе, система придет в ускоренное движение.

Изменяя массу груза, подвешенного к нити, можно изменить вращающий момент сил. Перемещая грузы 2 вдоль стержней, можно менять момент инерции системы.

На груз будут действовать две силы: сила тяжести и натяжение нити . Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось, совпадающей с нитью будет иметь вид:

,

отсюда

.

(2)

Ускорение груза a можно определить из законов кинематики, измеряя время t, за которое груз опустится на величину h, имея начальную скорость по формуле

,

или

.

(3)

Подставляя (3) в (2), найдем силу натяжения нити

.

(4)

Если радиус барабана r, то натянутая нить создает вращающий момент

.

(5)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела (без учета сил трения) будет иметь вид

или

.

(6)

Заменяя T из (4), получим

.

(7)

Все точки барабана имеют одинаковое угловое ускорение ε. Точки, лежащие на ободе барабана, обладают касательным ускорением , равным ускорению груза a, т.к. нить нерастяжима, поэтому можно записать

.

(8)

Подставляя (8) в (7) с учетом (3), получим

.

Используя уравнения (4) и (5) можно записать

.

(9)

Из (8) с учетом (3) под действием этого момента сил M маятник Обербека вращается с угловым ускорением

.

(10)

Приборы и принадлежности

– Маятник Обербека – 1 шт.

– Секундомер – 1 шт.

– Рулетка – 1 шт.

– Штангенциркуль – 1 шт.

– Набор грузов. – 1 шт.

Порядок выполнения работы