Обработка результатов прямого измерения

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Пусть в результате n измерений физической величины x получен ряд значений

.

(2)

Этот ряд значений величины x называется выборкой. Имея такую выборку, можно оценить результаты измерений. Величина, которая будет являться такой оценкой, обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не представляет собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Если есть возможность определить оценку ошибки Δ x, то результат измерений можно записать в виде

.

(3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δ x не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат записали в виде

при , .

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δ x и надежность P.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

,

(4)

где Δ x – отклонение от величины истинного значения, σ – истинная среднеквадратичная ошибка, – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при , кроме того, она является четной.

На рис. 1 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δ x и двумя ординатами из точек и (заштрихованная площадь на рис. 1) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал .

Рис.1. График функции (4)

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

,

(5)

где n – число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при .

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

.

(6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При S стремится к постоянному пределу .

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

.

(7)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

,

(8)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента .

Опуская теоретические обоснования его введения, найдено

,

(9)

где Δ x – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности, – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического. Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 34.

При , т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, ) нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения записать в таблицу.

2. Вычислить среднее значение из n измерений по формуле (5).

3. Найти погрешность отдельного измерения .

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений .

5. Определить среднеквадратичную ошибку среднего арифметического .

6. Задать значение надежности.

7. Определить коэффициент Стьюдента для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найти доверительный интервал (погрешность измерения) по формуле (9).

9. Если величина погрешности результата измерения Δ x окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала необходимо взять . Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую нужно отбросить.

10. Оценить относительную погрешность результата измерений .

11. Окончательный результат записать в виде (8).

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.01 мм). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 1).

 

Таблица 1. Результаты эксперимента

n
	4.02	0.01	0.0001
	3.98	– 0.03	0.0009
	3.97	– 0.04	0.0016
	4.01	0.00	0.0000
	4.05	0.04	0.0016
	4.03	0.02	0.0004
Σ	24.06	–	0.0046

,

.

Задавшись надежностью , по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений находим . Абсолютная ошибка по формуле (10) равна

.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, можно отбросить.

Относительная погрешность

Окончательный результат запишем в виде

при , .

Округление результатов

Обработка результатов измерений в лабораториях проводятся на калькуляторах и ПК. Иногда можно увидеть, как магически действует на многих студентов после вычислений длинный ряд цифр после запятой. Однако легко видеть, например, что запись бессмысленна. При ошибке 0.076 последние пять цифр числа не означает ровно ничего.

Если допустить ошибку в сотых долях, то тысячным, тем более десятитысячным долям веры нет. Грамотная запись результата была бы 2.87 ± 0.08. Всегда нужно производить необходимые округления, чтобы не было ложного впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результатов.

Правила округления:

1. Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу.

Примеры: 8.27 ≈ 9; 0.237 ≈ 0.3;

0.0862 ≈ 0.09; 0.00035 ≈ 0.0004;

857.3 ≈ 900; 43.5 ≈ 50.

2. Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.

Примеры: 243.871 ± 0.026 ≈ 243.87 ± 0.03;

243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3;

1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

3. Округление результата измерения достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.

Примеры: 8.337 (округлить до десятых) ≈ 8.3;

833.438 (округлить до целых) ≈ 833;

0.27375 (округлить до сотых) ≈ 0.27.

4. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, (а за ней одна или несколько цифр отличны от нуля), то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу.

Примеры: 8.3351 (округлить дл сотых) ≈ 8.34;

0.2510 (округлить до десятых) ≈ 0.3;

271.515 (округлить до целых) ≈ 272.

5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставляют неизменной, когда она четная.

Примеры: 0.875 (округлить до сотых) ≈ 0.88;

0.5450 (округлить до сотых) ≈ 0.54;

275.500 (округлить до целых) ≈ 276;

276.500 (округлить до целых) ≈ 276.