Глава пятая. Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях

5.1. Разложение периодической несинусоидальной функции

в ряд Фурье. Действующее значение периодической несинусоидальной функции. Коэффициенты, характеризующие форму не.синусоидальных периодически!

 

Задача 5.1.

 

На рисунке 5.1 изображена кривая напряжения u(l).Разложить это на.напряжение в ряд Фурье, ограничившись четвертой гармоникой. Определить постоянную при t = 1 получается неопределенность типа поэтому амплитуду первой стоянную составляющую идействующее значение этого напряжении Um=10В

 

Рисунок 5.1

 

Периодическое несинусоцдалыюе напряжение представляет собой функцию, симметричную относительно оси ординат, поэтому разложение в ряд Фурье имеет вид

 

 

Постоянная составляющая

 

 

Амплитуда синусоида

 

При k=1 получается неопределенность типа 0/0, поэтому амплитуду первой гармоникик лучше определять непосредственно из уравнения

 

 

⁰

Амплитуда высшихгармоних(k=2-4)

 

 

Таким образок:, напряжение U(t)раскладьшастся в ряд Фурье-.

Постоянная составляющая этого несинусоидального напряжение

значение определяется выражением:

 

Схема замещения источника представлена на рисунке 5,2

Рисунок 5.2

 

 

Задача 5.2.

Для напряжения,изображенного на рисунке 5.3, рассчитать коэффициенты формы кривой К_Ф ,амплитуды К_а, искажения К_и.

 

 

 

 

Рисунок 5.3

 

 

 

 

 

функция симметрична относительно оси абсцисс и начала координат, поэтому рядсостоит из нечетных синусоид. Для определения амплитуд синусоид.«функцию можно интегрировать за четверть периода.

■ Уравнение для напряжения в промежутке времени имеет вид ряд Фурье для указанного напряжения

Ограничимся тремя членами ряда и определим действующее значение напряжения

Действующее значение нееннуеоидального напряжения можно определит.также по формуле

 

 

 

Среднее по модулю значение напряженияТ'

Коэффициент формы

Коэффициент амплитуды

Коэффициент искажения определяется как опюшение действующего значения напряжения основной гармоники к действующему значению всего несинусоидального напряжения:

 

Расчет цепей несинусоидального тока. Мощности

 

Задача 5.3.

Определить міиовенные н действующие значения токон в схемах рисунка 5.4, а и б. Дано: R= 100 Ом, L - 0,1 Гн, С = 10 мкФ . где w= 1000 с'¹. Для схем сравнить отношения амплитуд

 

Рисунок 5.4

 

Для схемы рисунка 5.4,а для первой гармоники: комплексное сопротивление цепи

 

комплексная амплитуда тока

мгновенное значение тока

Для второй гармоники

Мгновенное значение тока

Действующее значение тока

 

Для схемы рисунка 5.4,6 для первой гармоники:

 

Для второй гармоники

Мгновенное значение тока в цепи

 

Действующее значение тока

Оношение амплитуд тока для схемы рисунка 5.4,а равно 0.63, а длясхемырисунка 5.4,6 равно 1,26 (индуктивность подавляет высшие гармоники в кривой тока).

 

Задача 5.4.

 

На рисунке 5.5 изображена схема, параметры которой при основной частоте имеют значения wl, = 12 Ом, 1/wС = 30Ом, R1 = б Ом, R2 =s R3 = 20 Ом. Приложенное к цепи

Определить мгновенное значение каждого тока, активную, реактивную и полную мощности, потребляемые в цепи

 

 

Расчет для постоянного тока

 

Рисунок 5.5

 

Расчет для первой гармоники:

Комплексное сопротивление всей цепи

 

 

Расчет для третьей гармоники проводится аналогично

Мгновенный ток в неразветвляенной части цепи равен (у составляющих тока первый индекс - номер ветви, второй индекс номер гармоники):

Действующие значения токов

Мощности, расходуемые в цепи,