Спектральный метод расчета переходных процессов

Задача 6.18

Определить спектральную функцию напряжения, имеющего форму полуволны синусоиды (рисунок 6.25)

Рисунок 6.25

 

фф

Другой способ определения U(jw) связан с представлением полуволны синусоиды в виде суммы двух кривых (рисунок 6.26): 1-синусоиды, начинающейся в момент t=0 и действующей неограниченно долго, и кривой 2-синусоиды, начинающейся в момент t_n и действующей неограниченно долго.

Рисунок 6.26

Задача 6.19

Определить переходное напряжение на емкости при включении цепи(рисунок 6.27) на экспоненциальное напряжение

Рисунок 6.27

Задача 6.20

Для схемы рисунка 6.28 определить все токи и напряжение на емкости после коммутации, если E=30B,R=100Oм, R₁= R₂=200Oм, C=100мкФ, L=0,1Гн

Рисунок 6.28

Методом переменных состояния состовляют две системы уравнений. В качестве переменных состояния выбирают токи i_L в индуктивных и i_С на емкостных элементах.

Первая система уравнений состояния определяет зависимость первых производных переменных состояния от самих переменных состояния и источников энергии(ЭДС и тока). Сокращенно дифференциальные уравнения состояния записывают в матричной форме.

 

 

Для составления системы уравнений выходных переменных

Решив совместно (1) и (6), получим

Уравнения (6) и (7) и матричный форме

 

Для вычисления матричной экспоненциальной функции необходимо сначала определить собственные значения λ матрицы ,то корни уравнения

Единичная матрица порядка n, т.е. матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а все остальные –нулю. Чтобы получить выражение λ,необходимо единицы в диагонали единичной матрицы заменить на λ.

Следовательно, уравнение относительно λ составляют, приравнивая нулю определить матрицы, в котором все элементы

Таким образом,получается уравнение для определения собственных значений матрицы

 

 

И корни равны: Собственные значения совпадают с корнями входного характеристического сопротивления цепи.

Для определения матричной экспоненциальной функции необходимо рассчитать коэффициенты из уравнений, которые для квадратной матрицы второго порядка имеют вид:

 

Для получения обратной матрицы необходимо заменить в исходной матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением, затем заменить строки соответствующими столбцами (транспонирование матрицы относительно главной диагонали). Полученную таким образом матрицу необходимо разделить на определитель матрицы.

Произведение квадратной матрицы на столбцовую с тем же числом строк равно суме попарных произведений всех элементов i-ой строки квадратной матрицы на соответствующие элементы столбцовой матрицы.

Таким образом,

Следовательно, матричная экспоненциальная функция с учетом, что порядок равен двум:

 

Так как матрица от времени не зависит, решение уравнения состояния можно записать в виде

 

-матрица-столбец начальных значений переменных состояния;

Теперь по уравнениям (6) и (7) в матричной форме можно определить выходные переменные

 

Глава седьмая

Электрические цепи с распределенными параметрами

7.1. установившиеся режимы в цепях с распределенными параметрами

 

Задача 7.1.

Воздушная линия связи длиной l=100 км, пераметры которой R₀=5,4Ом/км, L₀=2*10^-3 Гн/км, G₀=1*10^-6См/км, C₀ = Ф/км, замкнута на сопротивление, равное волновому. Напряжение в коне линия

Определить действующее и мгновенное значения напряжения U₁, u₁ по тока I_1,iв начале линии,а так же токи I_2,iв конце линии. Какое ослабление напряжения и тока создает линии?

Определим вторичные параметры однородной линии.

Волновое (характеристическое) сопротивление линии определяется по формуле

Где

 

Откуда коэффициент затухания α=4.8* Нп/км, коэффициент фазы β=17,9* рад/км.

Вычисление напряжений и токов.

При согласований нагрузке() комлексные действующие напряжение и ток в любой точке линии на расстоянии х от ее конца определяются только прямой волной отраженных волн нет):

 

Где -комплексные напряжения и ток в конце линии,

Пусть тогда при =l(l-длина линии напряжеие в начале линии

где

Действующие значение напряжения в начале линии U_I=16,2 B,мгновенное значение напряжения

Ток в начале линии ( =l):

Таким образом, при согласованной наргузке сдвиг по фазе между напряжением и током в конце и в начале линии равен аргументу волнового сопротивления .

Вырвжения позволяют определить зависимость действующего значения напряжения и тока от расстояния от конца линии х’:

видно,что имеет место затухание волн напряжения и тока при их перемещении от начала линии к концу.

Активная мощность в нагрузке

Активная мощность на входе линии (мощность источника энергии)

Ослабление мощности в неперах:

Ослабление напряжения и тока при согласованной нагрузке

Следовательно,ток и напряжение ослабляются линией в 1,62 раза.Это же ослабление в непарах: αI=ln1,62=0,48Нп.

Задача 7.2

Линия рассмотренная в предыдущей задаче, нагружена на активное сопротивление R₂=500 Ом. Определить напряжение и ток на входе линии, если напряжение на нагрузке U₂=10B.

Определить также напряжения и токи в начале и конце линии в режимах холостого хода и короткого замыкания, считая при этом заданным найденное напряжение на входе U₁ на входе линии. Принимая определим ток в нагрузке.

При несогласованной нагрузке в линии будут как прямая, так и обратная (отраженная) волны напряжения и тока:

Эти же уравнения записываются в гиперболических функциях:

Чтобы получить напряжение и ток на входе, необходимо принять х’=l.

Из предыдущей задачи

Вспомагательная величина

Гиперболические функции

Напряжение на входе линии

Ток на входе линии

Как видно, ток опережает напряжение на угол , т.е. входное сопротивление линии являеттся активно-емкостным.

Холостой ход линии. В этом режиме I₂=0, поэтому при х’=l

В режиме холостого хода ток отстает от напряжения на угол т.е входное сопротивление носит активно-индуктивный характер.

Короткое замыкагие. В этом режиме U₂=0, поэтому

 

В этом режиме ток опережает напряжения на угол , цепь носит активно-емкостной характер.

 

Задача 7.3

Линия без потерь имеет первичные параметры L₀=1,57мкГн/м, C₀=7,1пФ/м,длина линии l=5м, частота переменного тока f=10⁸Гц.

Определить волновое сопротивление линии, коэффициент фазы, длину волны, входное сопротивление отрезка этой линии 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком замыкании.

Вычислить для режима холостого хода действующее значение напряжения в конце и тока в начале линии, если

Волновое сопротивление

коэффициент фазы

длина волны

входное сопротивление линии в режиме холостого хода для :

 

(емкостное сопротивление)

входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания.

для :

(индуктивное сопротивление)

Действующее значение напряжения в конце линии в режиме холостого хода. (х’=l)

Действующее значение тока в начале линии.

 

7.2. Переходные процессы в однородных линиях без потерь

 

Задача 7.4

Воздушная линия, на конце которой включена индуктивность L=0,5Гн(рисунок 7.1), имеет волновое сопротивление Z_B =500Ом, ее длину l=500км. Линия включается на постоянное напряжение U=100кВ.

Определить: ток и напряжение падающих (прямых) волн, зависимости тока и напряжения на нагрузке i₂(t), u₂(t), ток и напряжение отраженных (обратных) волн от нагрузки i_о(t), u_о(t); распределение тока и напряжения вдоль линии через t₁=10^-3 c после того, как падающая волна достигнет конца линии.

Построить эпюры распределения тока и напряженич вдоль линии для момента времени t₁.

 

 

Рисунок 7.1

 

После подключения к линии источника постоянного напряжения схема замещения для рассчета падающих волн в линии имеет вид, представленный на рисунке 7.2.

Рисунок 7.2

Напряжение и ток падающих волн: u _o= u=U=100kB, i _o= u _n/Z_B=10⁵/500=200A.

Таким образом, ток падающей волны для любого момента времени и для любой точки на линии равен частному от деления напряжения падающей волны для того же момента времени и для той же точки времени на волновое сопротивление.

После того, как падающая волна достигнет конца линии, в схеме начинается переходный процесс, расчет которого проводится по схеме замещения линии, представленной на рисунке 7.3.

 

 

Рисунок 7.3

 

 

Расчет переходного процесса в схеме с сосредоточенными параметрам проведем классичеким методом. Расчет дает возможность определить i₂(t), u₂(t).

Характеристические уравнения для схемы рисунка 7.3:

Постоянная интегрирования определяется из начальных условии при t=0, i₂(0)=0, следовательно, 0=А+400, A=-400A.

Ток и напряжение в цепи с индуктивной катушкой изменяются по законам

Это же напряжение можно было определить по формуле u₂(t)= 2u_n-i₂Z_B.

Графики изменения тока и напряжения на нагрузке представлены на рисунке 7.4. Время t отсчитывается от момента достижения падающей волной нагрузки.

 

Напряжение и ток отраженных волн в конце линии:

u_o =u₂- u_n=200e^-1000t-100=100(2 e^-1000t-1)кВ;

Отраженный ток можно определить также из уравнения

i_o =i_n- i₂=200-400(1-e^-1000t)=200(2e^-1000t-1)A;

За время t₁=10^-3с отраженная волна пройдет расстояние от конца линии х=vt₁=3*10⁵*10^-3 =300км. Результирующее напряжение и ток на этом участке линии определяются наложением падающих и отраженных волн:

u_o =u₂- u_n, i_o =i_n- i₂

Если отсчет времени вести с того момента, когда падающая волна достигнет конца линии, то распределение тока и напряжения вдоль линии при t=t₁ можно получить из формул u₂(t), i₂(t), заменив t на t₁-х/v:

Где расстояние х (км) отсчитывается от конца линии влево.

Таким образом,

Для х=0-300км: ,

Для х=300-400км:

По данным таблицы 7.1 построены графики распределения напряжения и тока вдоль оинии(рисунок 7.5, а, б) Таблица 7.1

x, км	i,A	u,kB
		73,5

Рисунок 7.5

 

Задача 7.5.

В качестве линии без потерь используется линия задержки, у которой волновое сопротивление Z_B=1200Ом, время задержки t₃=4мкс; линия нагружена на индуктивность L=1,2мГн.

К линии подключается источник постоянного тока, ЭДС которого E=10B, внутреннее сопротивление генератора R_г=300Ом(рисунок 7.6).

Определить напряжение в конце и в середине линии для t<2t_x.

Рисунок 7.6

 

Время задержки определяется длиной линии l и фазовой скоростью v распределения волны напряжения по линии

t₃=l/v.

 

Операторная схема этой цепи представлена на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7

 

 

вв

Рисунок 7.8

 

вв

 

Рисунок 7.9

 

Восьмая глава