Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным s
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией s2. Пусть произведено n независимых опытов и на основании статистических данных получено выборочное среднее: Задаем достаточно высокую доверительную вероятность g. Требуется построить доверительный интервал . Прежде всего, заметим, что случайная величина также имеет нормальное распределение . Действительно, ; Вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения в симметричный интервал с центром в точке и радиусом ε равен где – функция Лапласа. Обозначая , имеем Ф (t) = g/2. Затем по табл. 4 приложения находим t по значению Ф (t) = g/2; отсюда находится : . Таким образом, доверительный интервал имеет вид . Задача. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным s=3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по его выборочному среднему , если известны объем выборки и . Решение. Имеем t = , . Из табл. 4 t = 1,96. Тогда . Таким образом, .
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания В отличие от предыдущего, случайная величина X имеет нормальное распределение N (a,s) с неизвестным s. Пусть произведено n независимых испытаний, построены выборочная средняя и “исправленная” выборочная дисперсия S 2. Требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Рассмотрим случайную величину . Распределение является t – распределение или распределением Стьюдента с степенями свободы. Действительно, по определению, если – случайная величина с нормальным распределением , а V – случайная величина, распределенная по закону c2 с k степенями свободы, то случайная величина распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы. Случайная величина распределена по нормальному закону . Случайная величина распределена также по нормальному закону (как линейная функция относительно нормального аргумента ) с законом . Известно, что случайная величина распределена по закону c2 с степенями свободы. Поэтому случайная величина T распределена по закону Стьюдента. С ростом степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному и уже при практически не отличается от него. Следовательно, при оценке неизвестных параметров по выборке малого объема используют распределение Стьюдента При построении доверительного интервала для математического ожидания речь идет о вероятности Имеем
или с учетом . Обозначая , получаем . Таким образом, имеем . Значение определяется по вероятности из табл. 5 приложения распределения Стьюдента. Затем, принимая во внимание, что , находим . Таким образом, доверительный интервал для оценки математического ожидания с неизвестным s имеет вид . Задача 5.3.2. Случайная величина X имеет нормальное распределение. По выборке объемом n = 15 найдены выборочная средняя , “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Определить интервальную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью . Решение. По табл. 5 приложения находим . Тогда . По формуле (5.3.11) получим доверительный интервал . Замечание. Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение которой неизвестно и которая имеет нормальное распределение. Пусть – результаты отдельных измерений, рассматриваемые как независимые случайные величины с одним и тем распределением, и имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии s2 (измерения равноточные). В этом случае истинное значение измерений физической величины оценивается с помощью среднего выборочного , для которого можно построить доверительный интервал (с неизвестным s) по методу, указанному в п. 2. Задача 5.3.3. По данным 16-ти независимых равноточных измерений физической величины найдено выборочное среднее и “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью . Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном s) для нормального распределения с помощью доверительного интервала. Доверительный интервал находится с помощью формулы (5.3.11).
Используя табл. 5 приложения по =0,95 и , находим . Имеем , .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 311; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.163.58 (0.007 с.) |