Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Центральный момент s-го порядка
Для дискретной случайной величины . Для непрерывной случайной величины .
Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины. По свойствам математического ожидания получим . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx. Для дискретных случайных величин . Для непрерывных случайных величин . Свойства дисперсии. 1) (под интегралом стоит квадрат функции). 2) (. 3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла). Средним квадратическим отклонением называется . Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½). Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х
Функция распределения равна , Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p. Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq. Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], еслиплотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Из условия нормировки для плотности вероятности следует . Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна . Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].
, = = Повторные испытания. Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми. Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д. Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В). Рассмотрим ситуацию А. Пусть число исходов равно двум (N = 2). Схема независимых испытаний с двумя исходами называется схемой Бернулли. Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично - формула Бернулли. Само распределение называют биномиальным. В самом деле, это – коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции . Из формулы Бернулли вытекают два следствия: 1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна , 2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна . Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq. Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…pN. Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит раз . Заметим, что . так как . Поэтому . Это – полиномиальное распределение. Заметим, что - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции . Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции при N исходах. При двух исходах - это коэффициент при в разложении производящей функции
, где . Примеры. 1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза? а) , б) . 2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза? 3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень? . Вероятность не попасть ни разу 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 325; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.0.61 (0.009 с.) |