Лекция 2. Математические модели систем управления техническими системами.

Математические модели для исследования поведения системы. Адекватность математических моделей.

Для того, что бы научится управлять СТС и изучить её свойства необходимо сначала получить и исследовать её математическую модель. Исторически первые автоматические устройства создавались без математического описания их поведения. Но инженеры все чаще стали сталкиваться с ситуацией, когда присоединенный к машине регулятор начинал раскачивать систему вместо того, чтобы её стабилизировать. Пришло понимание, что колебания возникают из-за влияния масс(инерции) и упругих сил в процессе движения объекта управления и регулятора системы, т.е причины кроются в совместной динамике объекта управления и регулятора.

Динамические же инерционные процессы описываются дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями в которые входят не только управляемые координаты, но и производные от этих координат – скорости изменения координат, а также вторые производные- ускорения, скорость изменения ускорения – третья производная и т.п. Порядок дифференциального уравнения определяет сложность поведения системы и соответственно сложность её исследования и подбора структуры и параметров регулятора.

Поэтому необходимо описать в виде математических соотношений и дифференциальных уравнений все взаимосвязи между интересующими нас переменными, характеризующими поведение объекта управления, управляющих устройств и других компонентов СТС. Исследование данных математических моделей всегда предворяет реальное создание систем. Математическая модель всегда представляет собой приближенное в той или иной степени описание, определяющее основные важные для данного исследования или использования системы свойства и поведение. Математическая модель может не описывать некоторые аспекты поведения системы в пользу предоставления упрощенного описания остальных, интересующих нас в данном исследовании.

Есть понятие адекватности математической модели. Адекватная модель соответствует цели и задачам исследования по точности результатов и соответственно сложности описания системы.

С учетом сказанного тому, что именно исследуется, какие факты нам необходимо подтвердить, одной и той же СТС могут соответствовать различные модели.

 

Непрерывные и дискретные во времени математические модели, математические модели, основанные на дискретных событиях

Реальные технические системы, которые мы будем изучать, по своей природе являются динамическими. Для динамических систем можно назвать начальное состояние,как совокупность некоторых величин, характеризующих ее функционирование и имеется закон, по которому можно прогнозировать изменения этих величин с течением времени.

Для описания поведения таких систем применяются дифференциальные уравнения. Действительно, поведение реальных систем с механическими, электрическими, тепловыми процессами характеризуются инерционностью.

Модели динамических систем можно классифицировать на:

1.непрерывные во времени математические модели, описываемые линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями, выражающими баланс массы, энергии, сил и моментов.

2.дискретные во времени математические модели, описываемые разностными уравнениями линейными или не линейными.

Дискретным моделям соответствуют ситуации, когда информация в системе доступна для обработки только в определённые дискретные моменты времени. Эта ситуация характерна для цифровых систем управления, использующих в качестве устройства управления ЦВМ.

Определение периода дискретизации – важная задача возникающая при создании таких систем.

3.Модели систем, основанные на дискретных событиях. Многие системы можно рассматривать как системы массового обслуживания с очередями и моделировать динамику их поведения событиями прихода в очередь заявок на обслуживание и обслуживанию заявок из очереди. При этом время в такой системе моделирования подсчитывается как заданные случайные интервалы между событиями.

Все эти типы моделей, описывающих СУ, находятся под воздействием случайных или неопределённых возмущений и случайных или неопределённых отклонений параметров от их номинальных значений. Эти случайные возмущения и отклонения параметров являются либо следствием неполноты знаний, либо физических процессов – шумов, которые можно описать статистически.

При составлении математических моделей всех типов, существует два подхода:

1. физический подход, когда составляются уравнения модели на основе физических законов и отношений баланса энергии, сил, массы.

2. подход, основанный на проведении эксперимента, в процессе которого определяются (идентифицируются) параметры и характеристики соответствующих моделей.

На практике чаще всего применяются комбинации методов, когда составленные на базе физических соотношений уравнения уточняются (структура и параметры) на базе экспериментальных данных, полученных на базе опытов над физическими моделями или аналогичными системами.

 

Математические модели объектов управления мехатронных систем

Мехатронные системы – термин, введенный для широкого класса систем автоматического управления, в которых механические объекты управляются от компьютеров. Например, самолеты, автомобили, ракеты, роботы, станки, двигатели, турбины, антенны с наведением и т.п.

Краеугольным камнем для любой динамической модели механической системы является второй закон Ньютона. Для применения второго закона Ньютона необходимо задать некоторую систему координат, относительно которой будет определяться скорость, положение, направление сил, действующих на объект.

, F- вектор сил , а - вектор ускорения

m – масса объекта.

 

Иногда второй закон Ньютона записывается в виде системы уравнений первого порядка относительно координат «состояния системы»:

,

Подобная запись принята стандартной для описания динамики системы в «переменных состояний системы», за которые мы принимаем координату перемещения x и координату скорости V. Математик сказал бы, что в последнем случае дифференциальное уравнение записано в форме Коши – в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной

Закон Ньютона для вращающегося в плоскости относительно какой-то точки тела имеет вид

, где М – момент действующих сил относительно центра вращения,

ω – угловая скорость тела,

J – момент инерции.

Если ввести понятие угла поворота тела , то запись состояний системы имеет вид

,

Подобными уравнениями описываются вращение или колебания самолетов, ракет, относительно их центров масс. Эта система уравнений описывает динамику вращения в переменных состояния и .

 

Линейные системы, нелинейные системы, их линеаризация.

 

В природе нелинейные системы встречаются чаще, чем линейные. С другой стороны исследование линейных систем проще, чем нелинейных. Это происходит в основном за счет того, что для линейных систем справедливы два замечательных свойства:

Однородности и аддитивности.

Свойство однородности означает, что изменение в к раз величины входного воздействия (сигнала) приводит к аналогичному в к раз величины выходного сигнала.

Свойство аддитивности можно сформулировать так:

Для любых входных сигналов x1(n) и x2(n), которым соответствуют выходные сигналы y1(n) и y2(n), справедливо, что входному сигналу (x1(n)+x2(n)) соответствует выходной сигнал (y1(n)+y2(n)).

Иногда это свойство излагается как принцип суперпозиции: