Все это автоматически учитывает закон управления угловым движением ракеты ПО отклонению от заданного положения и скорости изменения этого отклонения.

 

δ = а₀ υ + а₁

Дискретное описание цифрового автомата стабилизации ракеты.

 

Уравнение автомата стабилизации в квазинепрерывном варианте мы записывали:

C учетом дискретности работы ЦВМ:

 

Здесь и – дискретные значения и , совпадающие с и в момент каждого опроса датчика угла положения (ДУП) и датчика угловой скорости (ДУС) и удерживаемые без изменения в памяти БЦВМ в течении времени периода решения задач управления – периода опроса. Это соответствует рассмотренному ранее представлению управляемых координат и решетчатой функцией с экстраполятором нулевого порядка.

 

Численное интегрирование уравнений углового движения ракеты

Рассмотрим метод Эйлера численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение в нормальной форме Коши первого порядка.

Функция f(x,t) может быть как линейной, так и нелинейной. Представим производную в приближенном виде. По определению

и

Тогда, рассматривая ряд точек на временной оси с шагом (t=n ), имеем для точки номер n+1 и n

= отсюда

 

Здесь n меняется от 0 до бесконечности и представляет собой дискретное время, измеренное в числе интервалов . Продолжая далее для следующего и последующих шагов имеем

x_n+2= x_n+1+ t f(x_n+1,t)

………………………………….

Отметим, что на каждом интервале - шаге используется фиксированное значение производной в одной точке – в начале интервала и внутри каждого шага мы как бы движемся не по кривой решения, а по касательной к нему, проведенной из начальной точки шага. Это является причиной ошибки метода Эйлера, так как на самом деле производная меняется на интервале шага . На рисунках нижняя кривая - точное решение, верхняя - приближенное, полученное методом Эйлера. Ошибки полученные на каждом шаге суммируются. Причем чем больше шаг, тем больше ошибка.

Метод Эйлера достаточно груб и в практических случаях применяется редко, поскольку давно придуманы его уточнения, которые, правда, приводят к более сложным выкладкам. Эти уточнения косвенным образом учитывают не только первую производную в начальной точке шага, но и вторую, третью и т.п. Широкое распространение получили методы Рунге – Кутта и Адамса, которые имеются в библиотеках систем программирования. Мы в нашем курсе рассматриваем метод Эйлера, преследуя чисто методологические цели – показать простой и ясный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Уменьшение ошибки метода связаны с уменьшением шага интегрирования, либо с сокращением интервала интегрирования, так как ошибка накапливается.

Для уравнения второго порядка, описывающего колебательное звено

 

,

необходимо преобразование его к нормальному виду Коши т.е. к системе двух уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной. Для чего для данного примера обозначим

Тогда = -2 x₂ - x₁ + M

= x₂

Также как и ранее для уравнений первого порядка можно записать приближенные соотношения для точки номер n+1 и n

 

х_2(n+1) = x_2n+ t (-2 x_2n - x_1n +M)

x_1(n+1) = x_1n + x_2n

 

Для решения данного уравнения численным методом надо задать начальные условия. Пусть они будут нулевыми

x₂₀ = x₁₀ =0

Шаг интегрирования надо выбирать~0,01 от собственной частоты колебаний звена, равной . В этом случае точность интегрирования будет удовлетворительной.

Лекция 8 Исследование качества управления СТС с цифровым управляющим устройством.Точность управления.Случайные и систематические ошибки датчиков системы управления

Влияние параметров автомата стабилизации и дискретности его работы на устойчивость углового движения ракеты

 

Для использования метода Эйлера необходимо систему дифференциальных уравнений третьего порядка представить в виде трех уравнений первого порядка в так называемом виде Коши.

 

+ С_υυ υ + С_υδ δ = М_в

τ + δ = а₀ υ + а₁

Обозначим = x₀; = x₁; δ = x₂

 

На рисунках показано влияние параметров автомата стабилизации углового положения ракеты (АC)в том числе τ и T, влияние дискретности работы АС h на качество процессов управления. Увеличение h до значений 10 тактов за период собственных колебаний и уменьшение T до значений τ выводят процесс управления на границу устойчивости.

Зеленым обозначено изменения по времени угла поворота управляющего двигателя δ.

Красным обозначено изменения по времени угла поворота ракеты по тангажу υ. Ступенчатая функция - дискретные значения υ_д в БЦВМ.

Синим обозначено изменения по времени угловой скорости вращения ракеты по тангажу . Ступенчатая функция – дискретные значения _д в БЦВМ.

Во всех приведенных случаях значения коэффициентов уравнения углового движения ракеты принимались постоянными и равными

С_υυ = - 0,6 1/сек² (ракета статически неустойчива – центр давления ближе к носу ракеты, чем центр масс)

С_υδ = 1 1/сек²

М_в = 0,2 1/сек²

 

Цель анализа – выбрать параметры прежде всего автомата стабилизации, обеспечивающих приемлемое качество процессов управление. Изменение параметров объекта управления также возможно, но является гораздо более дорогим мероприятием.

Результаты получены путем численного интегрирования системы уравнений методом Эйлера. который является простейшим из множества разработанных для этой цели. В принципе, если бы не введенная нами при имитации дискретной работы ЦВМ нелинейность, невысокий порядок записанных уравнений позволил бы даже получить аналитическое решение с небольшими упрощениями. Однако, численное интегрирование позволяет получить решение, не делая упрощений. Широко применяется метод Рунге-Кутты интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, который даёт более точный результат, но и более сложен. В математических системах например в Mathcad имеется более десяти функций для решения систем дифференциальных уравнений.

 

Дискретность работы АС равна О.5 сек., , а0=2, а1=1

Система на границе устойчивости.

Дискретность работы АС равна О.1 сек., , а0=2, а1=1. Система устойчива.

 

АС непрерывный и идеальный, =0, а0=2, а1=1

 

 

АС непрерывный и неидеальный – с запаздыванием

=0.2 а0=2 а1=1

 

АС непрерывный и неидеальный – с запаздыванием, =0.2, а0=2, а1=0.4 (постоянная времени дифференцирования 0,2). Система на границе устойчивости.

Точность управления. Три составляющие, определяющие точность управления

Если рассмотреть важнейший показатель качества управления – точность управления, то он имеет три составляющие:

1. динамическую, определяемую передаточной функцией системы и величиной такта дискретизации в управляющей ЦВМ,

2.установившуюся погрешность,

3.погрешность измерения датчиков

Установившаяся погрешность устойчивой системы определяется после приравнивания нулю всех производных в приведенной системе при t→∞.

υ_устан =

Установившуюся ошибку можно определить и по передаточной функции для этого нужно в выражении для передаточной функции положить s=0.

В, так называемых, статических системах статическая (установившаяся) ошибка принципиально присутствует, так как для компенсации постоянно действующего возмущающего момента необходимо приложить равный по величине и противоположный по знаку управляющий момент. Но он не может быть создан иным способом, как в соответствии с законом управления. Но в соответствии с законом управления управляющему моменту соответствует не нулевое значение управляемой координаты.Это значение и есть статическая ошибка, которая тем больше, чем больше компенсируемый возмущающий момент. Как видно из полученного выражения чем больше знаменатель, тем меньше ошибка при том же значении возмущения. Выражение в знаменателе ни что иное, как квадрат собственной частоты углового движения.

Когда мы вводили управление с ОС, мы подчеркивали, что ошибка управления во многом будет определяться характеристиками датчиков. Точность, стабильность и повторяемость результатов, быстрота реакции (реактивность) – важнейшие характеристики датчиков, выдающих информацию в управляющий компьютер.

В настоящее время, решение компромиссной задачи между высокой чувствительностью датчиков на изменение полезного сигнала и возникающей при этом высокой чувствительности к помехам и шуму, решается за счет цифровой фильтрации шумов во встроенных в датчики компьютеров-контроллеров.

Сказанное подразумевает наличие цифрового выхода с датчиков за счет встроенного АЦП, так как устройство самих чувствительных «головок» датчиков все же чаще всего по физике действия имеет непрерывный выход. Точность или погрешность измерения определяется разницей между измеренным и фактическим значением измеряемой величины. Поскольку действительная (фактическая) величина не известна, то точность оценивается на основе априорных калибровки датчиков при эталонных измерениях или апостериорной обработке результатов измерений при функционировании системы.

 

Случайные и систематические ошибки датчиков системы управления

 

Ошибки измерения датчиками могут быть случайными и детерминированными. Ошибки могут быть постоянными во времени и переменными, характеризующими нарастающий (вековой) уход датчика, например гироскопического датчика углового положения, автономных генераторов импульсов времени и т.п.

Случайные ошибки могут иметь систематическую составляющую – математическое ожидание ошибки по модулю больше 0.

Систематические ошибки повторяются при каждом измерении и могут быть связаны с неточностью изготовления датчика и его тарировки, а также с погрешностями (систематическими) его установки на объекте управления.

Систематические ошибки можно определить в процессе эксплуатации системы и можно их устранять-компенсировать путем внесения поправок в алгоритм обработки измерений в бортовой ЦВМ. Случайные ошибки возможно успешно фильтровать в той же бортовой ЦВМ, если их изменения во времени существенно по частоте отличаются от частоты изменения полезного сигнала.

 

 

хороший датчик

 

Суммирование случайных ошибок и отклонений в линейных системах.

 

Пусть имеется ряд ошибок у датчика. Эти ошибки являются следствием ряда независимых и случайных причин: конструктивных разбросов, разбросов температуры, разбросов питающего напряжения и т.п. Пусть эти ошибки имеют значения, не превышающие с большой вероятностью величину ε_i. Учитывая случайный и независимый характер этих ошибок суммирование их нужно проводить по правилам суммирования случайных чисел, которые нам даёт теория вероятностей.

Математическое ожидание суммы независимых случайных ошибок равно сумме их математических ожиданий.

Дисперсия суммы независимых случайных ошибок равна сумме их дисперсий. Поэтому .Тогда среднеквадратичное отклонение суммы случайных ошибок

Предельное отклонение или предельная случайная ошибка относительно математического ожидания ошибки с большой вероятностью равна ε_пред=3σ. (Для нормального закона с вероятностью 0,997).

или ε_пред = <

 

Вопросы для повторения

Качество процессов управления.

Встроенные в систему ЦВМ. Методы анализа качества процессов управления

Методы анализа качества процессов управления

Устойчивость цифровых систем управления.

Характеристическое уравнение и его корни

Методы анализа устойчивости систем управления.

Преимущества и недостатки использования ЦВМ в контуре управления

Математическое описание цифровых систем. Решетчатые функции.

Экстраполятор нулевого порядка

Пример системы управления с ЦВМ в контуре управления..

Уравнения объекта управления и уравнения цифрового автомата стабилизации

Влияние параметров автомата стабилизации на устойчивость углового движения ракет

Точность управления в ЦСУ. Три составляющие, определяющие точность управления

Случайные и систематические ошибки датчиков системы управления

Суммирование случайных ошибок и отклонений в линейных системах.