Выбор между явными и неявными методами в процедурах моделирования мехатронных систем

Выбор между явными и неявными методами представляет серьезную проблему. Многие специалисты считают неявные методы более мощным и универсальным инструментом для решения задач моделирования технических систем [23,15]. Следует, однако, заметить, что лишь недавно появились достаточно мощные и универсальные системы автоматизированного моделирования, такие, как, например, MATLAB или МВТУ [17], допускающие выбор явного или неявного метода решения задачи. Раньше использовались либо явные, либо неявные методы, так как это требовало разных компонентных моделей.

В современных перспективных системах автоматизированного моделирования, пригодных для моделирования мехатронных систем, применяются, как правило, неявные методы численного интегрирования. Неявные методы лучше приспособлены для решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, к тому же они более устойчивы. В результате, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения СЛАУ, общие затраты могут быть значительно меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего количества шагов.

Рассмотрим эту особенность неявных методов на примере явного и неявного методов Эйлера [21], определяемых формулами (3.3) и (3.4), соответственно.

Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего линейного дифференциального уравнения

.

Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид , или , где – постоянная времени системы.

Единственный полюс системы находится в левой полуплоскости, следовательно, исходная система устойчива. Соответственно, любое решение уравнения, при , стремится к нулю.

Разностное уравнение, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как

.

Известно, что условием устойчивости полученного разностного уравнения является

или .

Это означает, что выбор может качественно изменить вид решения, превратив устойчивый процесс в неустойчивый.

Таким образом, на шаг интегрирования наложено очевидное ограничение – он не может быть больше постоянной времени системы, иначе дискретная аппроксимация станет неустойчивой. Если система имеет несколько постоянных времени, то подобное ограничение связывает шаг интегрирования с самой маленькой постоянной времени.

Переход к методам более высокого порядка мало меняет картину. Для метода Рунге-Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной , или, в более общем виде, , где – максимальное собственное значение матрицы Якоби [29].

Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает

,

где ограничение на величину шага выглядит по другому:

,

что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.