Свойства методов численного интегрирования

Основными требованиями, предъявляемыми к численным методам, являются достаточная точность и устойчивость. Дополнительными – универсальность, алгоритмическая надежность, умеренные затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ [29]. При этом, следует учитывать, что практически все эти характеристики имеют смысл только применительно к конкретному объекту исследования. Поэтому выбор подходящего метода интегрирования может иметь очень важное значение с точки зрения эффективности исследования.

Анализ процесса функционирования технического объекта численными методами всегда сопровождается ошибками в определении характеристик и параметров моделируемого процесса. Эти ошибки обусловлены многими причинами: неадекватностью модели, приближенностью исходных данных, свойствами используемого метода интегрирования. Первые из этих факторов возникают на этапе получения исходной модели. Последние – зависят от выбранного метода численного интегрирования.

Точность метода можно оценить, проанализировав полную ошибку на каждом шаге интегрирования, однако задача это достаточно сложная, так как предполагает наличие точного решения задачи.

Полная ошибка интегрирования на -ом шаге включает следую-щие составляющие:

Ø Ошибка дискретизации , обусловленная заменой производных конечными разностями;

Ø Ошибка вычислений , связанная с округлением чисел при вычислениях;

Ø Ошибка накопления , возникающая в следствии ошибок на предыдущих шагах интегрирования.

Ошибка накопления на -ом шаге равна полной ошибке на предыдущем шаге. Ее оценка связана с исследованием устойчивости численного метода. Если метод устойчив, то существенно не возрастает и общую ошибку интегрирования можно связать в основном с .

Если даже при небольших погрешностях аппроксимации при каждом шаге интегрирования накопленная погрешность растет от шага к шагу, то метод неустойчив и результаты исследований не верны.

Основными источниками неустойчивости процесса интегрирования является несогласованность выбора метода интегрирования и метода управления шагом интегрирования с характером решаемой задачи, с особенностями исследуемой системы дифференциальных уравнений. Один и тот же метод может быть достаточно эффективен при решении одной задачи, и неприемлем для другой.

Анализ устойчивости метода численного интегрирования для конкретного объекта строится на том, что после дискретизации и алгебраизации его модель превращается в систему разностных уравнений. Устойчивость такой системы можно проверить тем же методом, что и устойчивость обычных дискретных систем. Она зависит от расположения корней характеристического уравнения, полученного для системы разностных уравнений, которое, в свою очередь, определяется выбором формулы интегрирования, шагом интегрирования и собственными значениями матрицы Якоби исходной системы дифференциальных уравнений.

Теперь кратко обсудим влияние ошибок округления, возникающих при реализации методов численного интегрирования на ЭВМ, ограничившись следующим интуитивным рассуждением [23]. Ошибка дискретизации любого устойчивого метода стремится к нулю при . Следовательно, за счет уменьшения шага мы можем сделать ее сколь угодно малой. Однако, чем меньше шаг, тем больше потребуется шагов для решения конкретной задачи, тем больше скажутся на полученном решении ошибки округления. На практике, за счет ограниченной разрядности машинных слов, всегда существует величина шага , меньше которой вклад ошибок округления начинает доминировать в суммарной ошибке. Эта ситуация схематически изображена на рис. 3.2.

При малых значениях шага интегрирования велико влияние ошибок округления. В средней части диапазона ошибка растет примерно пропорционально шагу интегрирования (что соответствует методу первого порядка). Превышение шагом значения приводит к неустойчивости процедуры. Значения и могут быть найдены исходя из заданной точности интегрирования.

Рис. 3.2. Зависимость ошибки интегрирования от величины шага интегрирования

 

Экстремальную величину шага очень трудно установить заранее, но в задачах, где не требуется слишком высокая точность, необходимый шаг обычно будет значительно больше, чем этот минимум, и основной вклад в полную ошибку будет вносить ошибка дискретизации.

Методы явные и неявные

 

Процесс формирования математической модели для численного интегрирования обязательно включает этап алгебраизации, который состоит в преобразовании обыкновенных дифференциальных уравнений в алгебраические. Он основан на использовании одного из методов численного интегрирования.

Если задано дифференциальное уравнение

(3.1)

и начальные условия , то очередное значение может быть получено интегрированием (3.1):

 

(3.2)

 

Определенный интеграл в (3.2) численно равен площади под кривой на интервале (рис. 3.2).

Приближенно эта площадь может быть вычислена как площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции на левой границе интервала или значению на правой границе интервала. Очевидно, площади обоих прямоугольников, ограниченных сверху отрезками 1 и 2 на рис. 3.3, будут тем ближе к точному значению интеграла, чем меньше шаг интегрирования .

 

Рис. 3.3.

 

Подставив в (3.2) приближенные значения интеграла, можно получить две формулы:

 

(3.3)

. (3.4)

 

Выражение (3.3) представляет собой формулу явного метода Эйлера. Называется метод явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.

Формула (3.4) соответствует неявному методу Эйлера. Здесь в правой части выражения используется неизвестное значение , поэтому вычислить его непосредственно по этой формуле нельзя.

Более точное значение интеграла (3.2) дает метод трапеций, которому соответствует отрезок 3 на рис. 3.3. Тогда

 

. (3.5)

 

Эта формула относится, очевидно, тоже к неявным.

Для явных методов процедура формирования модели для численного интегрирования ограничивается алгебраизацией исходных дифференциальных уравнений. В частности, формула (3.3) не требует дальнейших преобразований и готова для применения.

 

Для неявных методов дальнейшие действия зависят от того, какой метод решения системы нелинейных уравнений реализован в данном пакете. Одним из вариантов может быть использование итерационного метода Ньютона, который, как известно, обладает наибольшей скоростью сходимости среди практически применяемых методов, и в котором многократно решается система линеаризованных алгебраических уравнений.

В этом случае реализуется второй этап подготовки математических моделей для неявных методов, который состоит в линеаризации нелинейных алгебраических уравнений, т.е. в разложении нелинейных функций в ряд Тэйлора и сохранении в результате только линейных членов.

Пусть задано нелинейное алгебраическое уравнение

 

(3.6)

 

где - вектор переменных.

Разложение (3.6) в ряд Тэйлора с сохранением только линейных членов дает приближенную замену

 

(3.7)

 

где –начальное приближение, в качестве которого берутся значения переменных на предыдущем шаге интегрирования;
– неизвестное значение переменной на шаге интегрирования.

Выражение (3.7) может быть записано как линейное алгебраическое уравнение

 

(3.8)

 

где – вычисляется для известных значений переменных на предыдущем шаге интегрирования;

 

 

Таким образом, процесс численного моделирования в общем случае нелинейных систем неявными методами состоит в формировании и решении на каждом шаге интегрирования системы линейных алгебраических уравнений

 

(3.9)

 

которая включает компонентные и топологические уравнения моделируемой схемы. При этом, процедурам алгебраизации и линеаризации подвергаются только компонентные уравнения, так как топологические уравнения всегда линейные алгебраические.

Рассмотрим пример связанный с подготовкой модели для численного решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка

Первым шагом является сведение данного уравнения к задаче Коши, т.е. к системе уравнений первого порядка за счет введения новой переменной .

Явные формулы метода Эйлера имеют вид

Неявные формулы запишутся следующим образом

Для перехода к матричной записи выполним ряд преобразований:

Здесь ,

 

 

Матричная запись имеет вид

 

Формулу (3.7), вообще говоря, необходимо применять итерационно. Решение этого уравнения, найденное для заданного начального приближения , следует использовать в качестве очередного приближения в (3.7) и повторять формирование и решение линейного алгебраического уравнения до тех пор, пока два последовательных приближения не станут близкими с заданной точностью. При численном моделировании можно ограничиться только одной итерацией, выбирая достаточно малый шаг интегрирования и учитывая, что при этом значения переменных на предыдущем шаге являются достаточно хорошим приближением.