Порядок метода интегрирования.

Главный вопрос при использовании любого численного метода состоит в оценке точности приближенных вычислений . В разделе 3.2.1 уже отмечалось, что существуют два источника погрешности при выполнении шага интегрирования:

· ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (3.1) разностной аппроксимацией (3.2);

· ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций.

При этом доминирующей является, как правило, ошибка дискретизации.

Будем считать, что все вычисления проводятся точно. Интуитивно ясно, что при ошибка дискретизации также должна стремиться к нулю и это действительно имеет место для любого метода. Однако взаимосвязь скорости уменьшения ошибки от скорости уменьшения для разных методов интегрирования различна.

Введем величину , называемую глобальной ошибкой дискретизации. Отметим, что зависит от величины шага, поскольку предполагается, что значения вычисляются при определенном . Воспользуемся также стандартным обозначением для величины, стремящейся к нулю при с той же скоростью, что и . В общем случае будем говорить, что функция равна , если при величина ограничена. Проведя анализ можно показать [23], что для метода Эйлера . Это, обычно, выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является то, что при уменьшении приближенное решение будет все более точным, и при будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по , т.е. при уменьшении шага вдвое ошибка дискретизации уменьшится примерно в 2 раза. Столь медленная сходимость служит препятствием использования простых методов первого порядка.

Очевидно, что повышение порядка метода позволяет повысить точность интегрирования при той же величине шага интегрирования . Способы повышения порядка могут быть различными.

Рассмотрим, например, явный одношаговый метод Хьюна (или метод Рунге-Кутты второго порядка). Он определяется формулой

Сравнивая его с методом Эйлера легко заметить, что значение заменено на среднее значений функции , вычисленных в двух различных точках. Данный метод имеет ошибку дискретизации .

Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутты, а возможно и из всех методов численного интегрирования, является классический метод четвертого порядка, задаваемый формулой

где

 

Суть метода в том, что вектор-функция правых частей системы ОДУ определяется не только в узлах сетки, но и в промежуточных точках интервала , а величина в методе Эйлера заменена на взвешенное среднее значений , вычисленных в четырех различных точках.

Как видно, повышение порядка метода связано с повышением затрат на вычисление значений функции . При нелинейной связи между ростом точности метода и объемом вычислений можно ожидать, что для каждой схемы интегрирования существует некоторый оптимальный порядок метода.

Для многошаговых методов порядок напрямую связан с объемом информации, используемой на каждом шаге. В частности, двух и трехшаговые методы Адамса-Бишфорта, задаваемые формулами (3.10) и (3.11) имеют второй и третий порядок, соответственно.