Вариационные ряды. Генеральная совокупность и выборка

Математическая статистика.

Математическая статистика возникла и создавалась параллельно с теорией вероятностей в XVII веке. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX и начало XX веков) обязано, в первую очередь, П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову и др.

Выборочный метод и статистическое оценивание.

По одному из определений, статистика – это наука, позволяющая распространять выводы, сделанные на основе изучения части совокупности, на всю совокупность. В этом определении заключена сущность выборочного метода и его ведущая роль в статистике.

Все единицы совокупности, обладающие интересующими исследователя признаками, составляют генеральную совокупность.

Часть совокупности, случайным образом отобранная из генеральной совокупности составляют выборочную совокупность – выборку.

Число элементов статистической совокупности называется её объёмом. Объём генеральной совокупности обозначается N, а объём выборки – n.

Случайная выборка из n элементов – это такой отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным. Такая выборка называется собственно – случайной.

По способу отбора элементов различают два типа случайных выборок: собственно –случайная бесповторная и собственно –случайная повторная. Выбор схемы отбора зависит от характера изучаемого объекта.

 

Статистическое оценивание.

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объёмом n, причём значение признака х₁ наблюдаются m₁ раз, х₂ – m₂ раз, …, х_k наблюдается m_k раз,

- объём выборки

Статистическим распределением выборки называется перечень возможных значений признака x_i и соответствующих ему частот m_i

Числовые характеристики генеральной совокупности называются параметрамигенеральной совокупности. Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р.

Оценка параметра – это определённая числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом её называют точечной оценкой. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики.

Ошибки выборки.

Так как выборочная совокупность это часть генеральной совокупности, то естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: , либо .

Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объёме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.

где - средняя по совокупности выбранных единиц; - средняя по генеральной совокупности; - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

О величине расхождения между параметром и статистикой

можно судить лишь с определённой вероятностью, от которой зависит величина t.

Средняя ошибка выборки . Согласно центральной предельной теореме Ляпунова, выборочные распределения статистик (при n 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно,

,

где - функция Лапласа.

В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному

 

	Собственно случайный отбор
повторный	бесповторный
Для средней
Для доли

Здесь - выборочная дисперсия значений признака; - выборочная дисперсия доли значений признака; n – объём выборки; N – объём генеральной совокупности; - доля обследованной совокупности; (1 - ) – поправка на бесповторность отбора.

 

Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно случайного отбора определяются в таблице.

	Собственно случайный отбор
повторный	бесповторный
Для средней
Для доли

 

 

Интервальное оценивание

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, который с определённой вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки Δ.

С помощью доверительного интервала можно оценивать различные параметры генеральной совокупности.

Для оценки математического ожидания а нормально распределённого количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности при n 30 и собственно – случайном повторном отборе формула имеет вид

,

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения 2Ф₀(t) = γ;

Для оценки математического ожидания а нормально распределённого количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности при n 30 и собственно – случайном бесповторном отборе формула примет вид

;

Для оценки математического ожидания а нормально распределённого количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности при n<30 и собственно – случайном повторном отборе формула будет иметь вид

,

где t определяется по таблицам функции Стьюдента по уровню значимости α = 1 – γ и числу степеней свободы k = n – 1; s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; n объём выборки.

Для оценки математического ожидания а нормально распределённого количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности при n<30 и собственно – случайном бесповторном отборе формула примет вид

;

Для оценки генеральной доли р нормально распределённого количественного признака по выборочной доле при n 30 и собственно – случайном повторном отборе формула имеет вид

,

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения 2Ф₀(t) = γ; ω – выборочная доля; n – объём выборки

.

Для оценки генеральной доли р нормально распределённого количественного признака по выборочной доле при n 30 и собственно – случайном бесповторном отборе формула примет вид

; .

 

Задачи

1) 7 студентов из 10 сдавали практические работы так, как будто они были списаны друг у друга. На уровне значимости 0,05 определите, случайно ли это, или студенты действительно списывали.

2) На уровне значимости α = 0,025 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

m (эмп)i
m (теор)i

3) Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определённой технологической операции на конвейере. От работающих на этой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на неё больше времени. Для проверки жалобы произведены измерения времени выполнения этой операции у 16 работниц, занятых на ней и получено среднее время 42 с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости α = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если: а) исправленное выборочное отклонение s – 3,5с; б) выборочное среднее отклонение – 3,5 с?

4) Экономический анализ производительности труда предприятий позволил выдвинуть гипотезу о наличии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующие результаты: средняя производительность труда 119 деталей. Выборочное обследование 35 предприятий 2-й группы показало, что средняя производительность труда составляет 107 деталей. Генеральные дисперсии соответственно равны 126,91 (дет.²) и 136,1 (дет.²). Считая, что выборки извлечены из нормально распределённых генеральных совокупностей Х и Y,на уровне значимости 0.05, проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда или же имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

5) Предполагается, что применение новых компьютерных технологий сократит время решения задач. Хронометраж времени решения 9 задач без компьютерных технологий дал следующие результаты: среднее время решения 57 минут, исправленная выборочная дисперсия s_х² = 186,2 (мин²). Среднее время решения 15 задач с применением компьютерных технологий 52 минуты, а исправленная выборочная дисперсия s_у² = 166,4 (мин²). На уровне значимости α = 0,01 ответьте позволило ли применение компьютерных технологий сократить время решения задач.

6) Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0,97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости α = 0,02 принять партию

7) Для завода изготавливают однотипные детали. Для оценки их качества сделаны выборки из продукции этих заводов и получены следующие результаты

Выборки	Завод №1	Завод №2
Объём выборки	n1	n2
Число бракованных деталей	m1	m2

На уровне значимости α = 0,025 определите, имеется ли существенное различие в качестве изготавливаемых деталей?

8) Компания, производящая средства для похудения, утверждает, что приём таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400гр веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430гр со средним квадратическим отклонением 110гр. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400гр. Уровень значимости α = 0,05

9) Компания утверждает, что новый вид зубной пасты лучше предохраняет зубы, чем зубные пасты других фирм. Для проверки в случайном порядке выбраны 400 детей, пользовавшихся новой пастой и 300 детей, которые пользовались зубными пастами других фирм. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из другой группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее. Принять уровень значимости α = 0,05

10) Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1075 часов. Среднее квадратическое отклонение времени горения составляет 100 часов. Используя уровень значимости α = 0.05, проверьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп – более 1000 часов.

11) Компания, выпускающая в продажу новый сорт кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости α = 0,01 гипотезу о том, что по крайней мере 52% потребителей предпочтут новый сорт кофе.

12) Страховая компания изучает вероятность ДТП для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в ДТП и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков – мотоциклистов попадали в ДТП в прошлом году. Принять уровень значимости α = 0,05.

13) Новое лекарство против гриппа должно пройти экспериментальную проверку для выяснения побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4000 мужчин и 5000 женщин. Результаты показали, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приёме нового медикамента. Можно ли на основании эксперимента утверждать, что побочные эффекты нового лекарства у женщин проявляются в большей степени, чем у мужчин? Уровень значимости α = 0,05.

14) Производитель микрокалькуляторов утверждает, что 95% выпускаемых изделий не имеют дефектов. Случайная выборка из 100 микрокалькуляторов показала, что только 92 из них без дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя на уровне значимости α = 0,05.

15) В 2002 году годовой оборот 4 бирж в регионе Ставропольского края составил 12·10⁴ у.е.; в Краснодарском крае годовой оборот 5 бирж - 125·10³ у.е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе Ставропольского края равна 12·10³ (у.е.)², в Краснодарском крае - 2·10⁴ (у.е.)². Можно ли на уровне значимости α = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе Ставропольского края больше чем в Краснодарском крае.

16) Производитель нового типа аспирина утверждает, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 человек страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости α = 0,05 справедливость утверждения производителя.

17) Компания по производству безалкогольных напитков выпускает на рынок новый напиток. Компания хотела бы быть уверенной, что не менее 70% её потребителей предпочтут новый напиток. Этот напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех её потребителей предпочтут новый напиток старому. Принять уровень значимости α = 0,05

18) Владелец фирмы считает, что добиться более высокой прибыли ему помешала неравномерность поставок по месяцам года. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж равномерны. Распределение поставок имеет следующий вид:

Месяц

Объём поставок

При α = 0,05 определите кто прав владелец фирмы или поставщик?

 

 

Корреляционная зависимость.

Дана система случайных величин (Х;У). Пусть в результате n испытаний получено n точек (х₁;у₁); (х₂;у₂)…(х_n;y_n), Необходимо вычислить коэффициент корреляции этой системы случайных величин.

Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом математическом ожидании получим следующие приближённые равенства:

 

. Отсюда можно найти коэффициент корреляции по формуле: .

 

Если , то связь между случайными величинами Х и У достаточна устойчива. Если связь между Х и У установлена, то линейное приближение от х даётся формулой линейной регрессии:

Линейное приближение от у даётся формулой линейной регрессии Прямые различны.

Для построения уравнения линейной регрессии нужно:

- по исходной таблице значений (Х;У) вычислить

- проверить гипотезу о существовании устойчивости между Х и У;

- составить уравнение обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.

 

Задачи

1) Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность компании в зависимости от её расстояния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам города была выяснена среднегодовая наполняемость номеров и расстояние в км. до пляжа.

Расстояние	0,1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,4	0,5	0,6	0,7	0,7	0,8	0,8	0,9	0,9
Наполняемость, %

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

2) Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного тех. обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей.

Х

Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

3) Врач исследователь выясняет зависимость площади поражённой части лёгких у людей, заболевших эмфиземой лёгких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области имеют следующий вид:

Число лет курения
Площадь поражённой части лёгкого, %

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения лёгких у случайно выбранного пациента

4) Компания, занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на видеомагнитофон определённой модели цену, диффириенцированную по регионам. Следующие данные показывают цену в 8 различных регионах и соответствующее им число продаж.

Число продаж, шт.
Цена, тыс. руб.	5,5		6,5			6,5	4,5

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и объясните смысл полученных результатов.

 

5) Опрос 10 студентов НХК позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю затраченных студентом на самостоятельную подготовку.

Средний балл	4,6	4,3	3,8	3,8	4,2	4,3	3,8		3,1	3,9
Число часов

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если студент занимается самостоятельно по 12 часов в неделю, то каков прогноз успеваемости?

6) Имеется случайная выборка из 10 семей для изучения связи между числом телевизоров (Y) в домохозяйстве и числом членов семьи (Х)

Х
Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

7) Имеются данные о стаже работы (Х, лет) и выработке одного рабочего за смену (Y, шт.)

Х
Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

8) Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (Y, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (Х, тыс. шт.) по группам предприятий за отчётный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил следующие данные:

Х
Y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,4

Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов.

9) Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры (Х, см.) и их урожайность (Y, га)

Х
Y

При α = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками Х и Y. Если признаки коррелируют, постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Сделайте прогноз урожайности пшеницы при глубине вспашки 22 см.

10) Из студентов 3-го курса групп ЭВМ отобраны случайным образом 10 человек и подсчитаны средние оценки, полученные ими на 1-ом (Х) и 3-м (Y) курсе.

Х	3,5		3,8	4,6	3,9		3,5	3,9	4,5	4,1
Y	4,2	3,9	3,8	4,5	4,2	3,4	3,8	3,9	4,6

Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями Х и Y, если α = 0,05?

11) Определите тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, гр) и веса его семян (Y, гр) на основе следующих выборочных данных:

Х
Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его.

12) Перед сдачей экзаменов в конце семестра в 20 группах студентов НХК был проведён опрос о том, какую оценку по сдаваемым в сессию курсам они ожидают получить. После сессии средние полученные оценки были сопоставлены со средними ожидаемыми.

Результаты приведены в таблице:

Ожидаемая	3,4	3,1		2,8	3,7	3,5	2,9	3,7	3,5	3,2
Полученная	4,1	3,4	3,3		4,7	4,6		4,6	4,6	3,6
Ожидаемая		3,5	3,3	3,1	3,3	3,9	2,9	3,2	3,4	3,4
Полученная	3,5		3,6	3,1	3,3	4,5	2,8	3,7	3,8	3,9

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции Пирсона, оцените его значимость при α = 0,05.

13) Определите тесноту связи между возрастом самолёта (Х, лет) и стоимостью его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:

Х
Y

Установите значимость коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолёта, если его возраст 1,5 года, а уровень значимости принять равным 0,05?

14) Определите тесноту связи объёма выпуска продукции (Х, тыс. шт.) и себестоимости единицы изделия (Y, тыс. руб.) на основе следующих данных:

Х
Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции на уровне значимости равном 0,05. Постройте уравнение линейной регрессии и объясните его.

15)Имеются данные по 14 предприятиям о производительности труда (Y, шт.) и коэффициенте механизации работ (Х, %).

Х

Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и объясните его.

16) Дана таблица социального исследования

Х	0,25	0,37	0,44	0,55	0,6	0,62	0,68	0,7	0,73
Y	2,57	2,31	2,12	1,92	1,75	1,71	1,6	1,51	1,5
Х	0,75	0,82	0,84	0,87	0,88	0,9	0,95
Y	1,41	1,33	1,31	1,25	1,2	1,19	1,15

Определите коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.

17) В результате опытов получена таблица социологических исследований. Определите коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.

1.

Х	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9		1,1	1,2	1,3	1,4
Y	1,3	1,21	1,12	1,62	1,73	1,45	1,44	1,52	1,68	1,7

2.

Х
Y

3.

Х
Y

4.

Х
Y

 

 

5.

Х	6,2	6,8		7,3	7,5	8,2	8,4	8,7	8,8
Y	17,1		15,1		14,1	13,3	13,1	12,5		11,9

6.

Х
Y	1,34	1,85	3,41	3,85	4,45	4,98	5,63	5,74	6,82

7.

Х		7,5		8,5		9,5		10,5		11,5
Y	0,04	0,08	0,12	0,04	0,12	0,2	0,12	0,08	0,08

8.

Х
Y	13,8		14,1	14,2	14,3	14,4	14,5	14,6	13,9	14,7

9.

Х	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9
Y	1,75	1,62	1,43	1,52	1,49	2,512		2,31	1,9

10.

Х	1,9	2,5	2,4	2,2	1,8	3,8	3,9		3,5	3,7
Y			1,5	1,5		0,4	0,6			0,5

Литература

Учебная и справочная

Абезгауз Г.Г., Тронь А, П., Коненкин Ю.Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчётам. М.,1970

Агапов Г. И. Задачник по теории вероятности. М., 1986

Белинский В.А., Калихман И. А., Майстров Л. Я., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М., 1965

Боровков А.А. Курс теории вероятностей. – М.: 1978

Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М., 1979

Венецкий И. Г., Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика М., 1975

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности. – М.: 1977

Гершгон А. С. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Львов, 1961

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М., 1975; 1979; 1997

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М., 1975; 1988

Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.: 1978

Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. М., 1977

Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л., 1967

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: 1979

Калинина В. Н. Математическая статистика. М., 1981

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: 1978

Колде Я. К. Практикум по теории вероятности и математической статистике. М., 1991.

Лютикас В. Школьнику о теории вероятности. М., 1983

Л. И. Ниворожкина, З.А. Морозова Основы статистики с элементами теории вероятностей. –Ростов- на- Дону «Феникс» 1999

Румшиский Л. З. Элементы теории вероятности М., 1976

Научно-популярная

Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. - М.: 1979

Хургин Я.И. Как объять необъятное. – М.:1979

Хургин Я.И. Да, нет или может быть. – М.:1979

Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности. – М.: 1984

Кравец А.С. Природа вероятности. – М.: 1976

Гнеденко Б.В. Из истории науки о случайном. – М.: 1981

Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: 1978

Скворцов В.В. Викторина по элементам теории вероятностей – М.: 1989

Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. – М.: 1975

Виленкин Н.Я.Популярная комбинаторика. – М.: 1978

 

 

 

Треугольник Паскаля