Способ наименьших квадратов.

Этот способ заключается в отыскании вида и значения параметров функциональной зависимости у = f(x), связывающий зафиксированные значения переменных х и у, подчиняются требованию наилучшего приближения значений функции к данным наблюдения. Этой цели соответствует подчинение искомой функции такому условию, чтобы сумма квадратов отклонений каждого значения такой функции f(x) от соответствующего значения х была наименьшей.

 

Пусть имеем следующие данные наблюдений:

Х	Х1	х2	…	хn
У	У1	у3	…	yn

 

Это значит, что сумма [f(x₁)-y₁]²+ [f(x₂) – y₂]² +…+[f(x_n) – y_n]² должна удовлетворять условию минимума функции нескольких независимых переменных; или ими оказываются параметры, т.е. неизвестные коэффициенты искомой функции у = f(х), которая может иметь вид: f(х) = ах + b отыскиваются из нормальной системы

 

откуда легко получить ;

 

 

Для параболической функции F(x) = ах² +bх + с коэффициенты находятся из системы линейных уравнений:

Задачи

1) Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность компании в зависимости от её расстояния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам города была выяснена среднегодовая наполняемость номеров и расстояние в км. до пляжа.

Расстояние	0,1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,4	0,5	0,6	0,7	0,7	0,8	0,8	0,9	0,9
Наполняемость, %

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

2) Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного тех. обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей.

Х

Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

3) Врач исследователь выясняет зависимость площади поражённой части лёгких у людей, заболевших эмфиземой лёгких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области имеют следующий вид:

Число лет курения
Площадь поражённой части лёгкого, %

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения лёгких у случайно выбранного пациента

4) Компания, занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на видеомагнитофон определённой модели цену, диффириенцированную по регионам. Следующие данные показывают цену в 8 различных регионах и соответствующее им число продаж.

Число продаж, шт.
Цена, тыс. руб.	5,5		6,5			6,5	4,5

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и объясните смысл полученных результатов.

 

5) Опрос 10 студентов НХК позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю затраченных студентом на самостоятельную подготовку.

Средний балл	4,6	4,3	3,8	3,8	4,2	4,3	3,8		3,1	3,9
Число часов

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если студент занимается самостоятельно по 12 часов в неделю, то каков прогноз успеваемости?

6) Имеется случайная выборка из 10 семей для изучения связи между числом телевизоров (Y) в домохозяйстве и числом членов семьи (Х)

Х
Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

7) Имеются данные о стаже работы (Х, лет) и выработке одного рабочего за смену (Y, шт.)

Х
Y

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

8) Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (Y, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (Х, тыс. шт.) по группам предприятий за отчётный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил следующие данные:

Х
Y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,4

Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов.

9) Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры (Х, см.) и их урожайность (Y, га)

Х
Y

При α = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками Х и Y. Если признаки коррелируют, постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Сделайте прогноз урожайности пшеницы при глубине вспашки 22 см.

10) Из студентов 3-го курса групп ЭВМ отобраны случайным образом 10 человек и подсчитаны средние оценки, полученные ими на 1-ом (Х) и 3-м (Y) курсе.

Х	3,5		3,8	4,6	3,9		3,5	3,9	4,5	4,1
Y	4,2	3,9	3,8	4,5	4,2	3,4	3,8	3,9	4,6

Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями Х и Y, если α = 0,05?

11) Определите тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, гр) и веса его семян (Y, гр) на основе следующих выборочных данных:

Х
Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его.

12) Перед сдачей экзаменов в конце семестра в 20 группах студентов НХК был проведён опрос о том, какую оценку по сдаваемым в сессию курсам они ожидают получить. После сессии средние полученные оценки были сопоставлены со средними ожидаемыми.

Результаты приведены в таблице:

Ожидаемая	3,4	3,1		2,8	3,7	3,5	2,9	3,7	3,5	3,2
Полученная	4,1	3,4	3,3		4,7	4,6		4,6	4,6	3,6
Ожидаемая		3,5	3,3	3,1	3,3	3,9	2,9	3,2	3,4	3,4
Полученная	3,5		3,6	3,1	3,3	4,5	2,8	3,7	3,8	3,9

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции Пирсона, оцените его значимость при α = 0,05.

13) Определите тесноту связи между возрастом самолёта (Х, лет) и стоимостью его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:

Х
Y

Установите значимость коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолёта, если его возраст 1,5 года, а уровень значимости принять равным 0,05?

14) Определите тесноту связи объёма выпуска продукции (Х, тыс. шт.) и себестоимости единицы изделия (Y, тыс. руб.) на основе следующих данных:

Х
Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции на уровне значимости равном 0,05. Постройте уравнение линейной регрессии и объясните его.

15)Имеются данные по 14 предприятиям о производительности труда (Y, шт.) и коэффициенте механизации работ (Х, %).

Х

Y

Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и объясните его.

16) Дана таблица социального исследования

Х	0,25	0,37	0,44	0,55	0,6	0,62	0,68	0,7	0,73
Y	2,57	2,31	2,12	1,92	1,75	1,71	1,6	1,51	1,5
Х	0,75	0,82	0,84	0,87	0,88	0,9	0,95
Y	1,41	1,33	1,31	1,25	1,2	1,19	1,15

Определите коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.

17) В результате опытов получена таблица социологических исследований. Определите коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии.

1.

Х	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9		1,1	1,2	1,3	1,4
Y	1,3	1,21	1,12	1,62	1,73	1,45	1,44	1,52	1,68	1,7

2.

Х
Y

3.

Х
Y

4.

Х
Y

 

 

5.

Х	6,2	6,8		7,3	7,5	8,2	8,4	8,7	8,8
Y	17,1		15,1		14,1	13,3	13,1	12,5		11,9

6.

Х
Y	1,34	1,85	3,41	3,85	4,45	4,98	5,63	5,74	6,82

7.

Х		7,5		8,5		9,5		10,5		11,5
Y	0,04	0,08	0,12	0,04	0,12	0,2	0,12	0,08	0,08

8.

Х
Y	13,8		14,1	14,2	14,3	14,4	14,5	14,6	13,9	14,7

9.

Х	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9
Y	1,75	1,62	1,43	1,52	1,49	2,512		2,31	1,9

10.

Х	1,9	2,5	2,4	2,2	1,8	3,8	3,9		3,5	3,7
Y			1,5	1,5		0,4	0,6			0,5

Литература

Учебная и справочная

Абезгауз Г.Г., Тронь А, П., Коненкин Ю.Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчётам. М.,1970

Агапов Г. И. Задачник по теории вероятности. М., 1986

Белинский В.А., Калихман И. А., Майстров Л. Я., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М., 1965

Боровков А.А. Курс теории вероятностей. – М.: 1978

Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М., 1979

Венецкий И. Г., Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика М., 1975

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности. – М.: 1977

Гершгон А. С. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Львов, 1961

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М., 1975; 1979; 1997

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М., 1975; 1988

Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.: 1978

Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. М., 1977

Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л., 1967

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: 1979

Калинина В. Н. Математическая статистика. М., 1981

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: 1978

Колде Я. К. Практикум по теории вероятности и математической статистике. М., 1991.

Лютикас В. Школьнику о теории вероятности. М., 1983

Л. И. Ниворожкина, З.А. Морозова Основы статистики с элементами теории вероятностей. –Ростов- на- Дону «Феникс» 1999

Румшиский Л. З. Элементы теории вероятности М., 1976