Исследование устойчивости математических моделей

 

Цель работы

 

Изучение методов исследования устойчивости математических моделей. Приобретение навыков анализа устойчивости путем экспериментального исследования модели и вычисления аналитических оценок ее устойчивости.

 

2.2 Указания по организации самостоятельной работы

 

При подготовке к выполнению лабораторной работы необходимо: ознакомиться с постановкой задачи анализа устойчивости моделей; изучить способы оценки устойчивости для моделей в виде систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); повторить материал по технологии работы с пакетами программ для решения вычислительных задач. С этой целью может быть использован лекционный материал по соответствующим темам, материал, изложенный в рекомендованной литературе [4, с. 12-13; 5; 6, с. 151-155; 7, с. 43-50], а также материал настоящих методических указаний.

В качестве модели объекта выступает система линейных уравнений вида

 

, (2.1)

 

где – матрица коэффициентов системы уравнений;

– искомый вектор параметров модели;

– вектор правой части системы уравнений.

Модель с возмущенной матрицей представляется в виде

 

, (2.2)

 

где – возмущение матрицы , описывающее погрешность определения (задания) ее коэффициентов.

Модель с возмущенной правой частью представляется в виде

 

, (2.3)

 

где – возмущение вектора правой части , описывающее погрешность определения (задания) его координат.

В качестве первой оценки устойчивости модели использовать число обусловленности матрицы вида

 

= , (2.4)

 

где и – соответственно нормы матрицы и обратной ей матрицы .

Нормы матрицы определяются следующими соотношениями:

 

; (2.5)

; (2.6)

, (2.7)

где – элемент матрицы .

Элементы обратной матрицы могут быть определены, например, по методу Гаусса путем решения СЛАУ вида

 

, (2.8)

 

где – искомые элементы обратной матрицы; =1, если ; = 0, если .

В качестве второй оценки устойчивости модели использовать соотношение для симметричных матриц

 

= , (2.9)

 

где – собственные числа матрицы , являющиеся решениями характеристического уравнения

 

, (2.10)

 

где – единичная матрица.

Для оценки максимальных относительных возмущений (погрешностей) решений использовать соответственно соотношения

 

; (2.11)

. (2.12)

 

Описание лабораторной установки

 

В качестве лабораторной установки используется персональная ЭВМ типа IBM PC. Анализ устойчивости (решение СЛАУ и оценка меры обусловленности матриц) производится с помощью пакета программ решения вычислительных задач MathCAD или ему подобного.

 

Порядок выполнения работы

 

Ознакомиться с помощью преподавателя с особенностями и режимами работы используемых компьютерных средств и пакета программ.

Получить у преподавателя вариант задания и дополнительные исходные данные. Варианты заданий приведены в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1 – Значения коэффициентов модели (матрица )

Вари-ант	11	12	13	21	22	23	31	32	33
				-0,2	0,002		0,7	0,5	-0,2
	-0,2	0,7	-0,5			-0,8			0,003
	0,002	-0,3			-0,3		0,6	-0,7
	-50	0,7	0,4		0,002			0,6	0,2
	0,001			-0,4		-0,8	0,7		0,6
	0,1		-0,5	0,7	0,001	-0,8
				-0,5	0,4		0,7	0,5	0,01
	-0,2	0,6	-0,5		0,05	0,8
		-0,3			0,03		0,9	-0,7	0,2
		0,7	-0,6		0,1			0,4	0,2
	-0,5			-0,4	0,2	0,8	0,7
	-0,2	0,3	-0,5			-0,6			0,3
	0,2	0,6			-0,3		0,6	-0,7
		0,7	0,5		0,1			-0,6	0,2
				-0,4	0,02	-0,8	0,6		-0,6
	0,1		0,4	0,7		-0,8			-0,3
				-0,2	0,2		0,7	0,5	0,005
	-0,2	0,7	-0,3			-0,8			0,1
	0,02	-0,3					0,6	-0,7	-0,2
	-0,03	0,7	0,5		0,3			-0,6
	0,3			-0,2	0,2		0,7	0,5
	-0,2	0,7	-0,5			0,8			0,3
		0,3			-0,3		0,6	-0,7	-0,2
	-108	0,7	0,6		0,1			0,3	0,2
	0,5			-0,4	0,2	-0,8	-0,7

 

Провести анализ исходной модели путем решения СЛАУ вида (2.1).

Сформировать и проанализировать модели с возмущенной матрицей (2.2) и правой частью (2.3). При этом и выбирать равными порядка 0.1.

Вычислить значение первой оценки устойчивости модели (2.4).

Вычислить значение второй оценки устойчивости модели (2.9).

Провести анализ абсолютной и относительной погрешностей решений для возмущенных моделей. Оценить максимально возможное возмущение решения с помощью отношений (2.11) – (2.12). Сравнить полученные результаты.

Сделать выводы, оформить и сдать отчет о выполненной работе.

Содержание отчета

 

Отчет должен содержать:

– титульный лист;

– цель работы;

– математические соотношения для вычисления оценок меры устойчивости модели;

– результаты анализа исходной и возмущенных моделей (решений соответствующих СЛАУ);

– относительные оценки погрешностей и меры устойчивости модели;

– анализ полученных результатов и конкретные выводы по работе, сделанные по результатам проведенных экспериментов.

 

2.6 Контрольные вопросы и задания

 

1. Приведите постановку задачи исследования устойчивости модели в виде СЛАУ.

2. Запишите соотношения, определяющие значение первой оценки устойчивости модели .

3. Запишите соотношения, определяющие значение второй оценки устойчивости модели

4. Какие матрицы называют плохо обусловленными?

5. Какие матрицы называют хорошо обусловленными?

6. Что показывает мера обусловленности матрицы системы ?

7. Опишите суть процедуры решения несовместных СЛАУ.