Исследование динамики объектов с помощью аналитических моделей

 

Цель работы

Изучение методов аналитического моделирования динамики объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Приобретение навыков исследования объектов средствами компьютерного моделирования. Экспериментальная оценка точности определения траектории движения объекта.

4.2 Указания по организации самостоятельной работы

При подготовке к выполнению лабораторной работы необходимо: ознакомиться с постановкой задачи исследования моделей динамики объектов в переменных состояния; уяснить суть процедуры преобразования моделей задач, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), к форме Коши; ознакомиться с методами аналитического, численного и качественного исследования моделей динамики в виде систем ОДУ; повторить методы вычисления собственных значений и векторов матриц, а также технологию решения перечисленных задач в среде пакета программ MathCAD или ему подобного.

С этой целью может быть использован лекционный материал по соответствующим темам, материал, изложенный в рекомендованной литературе [3, c. 96 – 103; 4, с. 228 – 238; 5], а также материал настоящих методических указаний.

Практическая часть подготовки к выполнению работы включает в себя: составление в среде используемого пакета программ модуля для определения собственных значений и векторов матрицы объекта, построения графиков, отражающих модельные траектории, а также заготовки отчета к лабораторной работе.

 

Описание задачи

Модель динамики объекта в форме Коши представляется системой ОДУ вида

 

= A Z(t) + B + (4.1)

 

где Z(t) – искомая вектор-функция координат (состояний) объекта размерностью n;

A – матрица постоянных коэффициентов размерностью ;

В = [b₁, b₂, …, b_n]^T – вектор управляющих воздействий;

– функция, реализующая закон управления;

– вектор-функция возмущающих воздействий;

Z⁽⁰⁾ – вектор начальных условий.

Необходимо исследовать динамику объекта на отрезке времени . В качестве начальных условий Z (t₀ ) использовать один из собственных векторов матрицы A (соответствующий вещественному собственному значению и имеющий все ненулевые компоненты).

При этом считать, что объект функционирует в условиях стабильной помехи, т.е. , а функция, реализующая закон управления имеет вид = , где – постоянный коэффициент.

В процессе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Определить начальные условия задачи.

2. Выбрать шаг моделирования и определить траекторию свободного движения объекта методом Рунге-Кутта.

3. Определить траекторию свободного движения объекта аналитическим методом.

4. Оценить точность решения, полученного методом Рунге-Кутта.

5. Методом Рунге-Кутта определить траекторию движения объекта в условиях действия помехи .

6. Подобрать значения параметров управляющего воздействия b₁, b₂,…, b_n+1, обеспечивающих изменение координат вектора состояний в заданном диапазоне , , где – соответственно минимальное и максимально допустимые значения i -й координаты состояния.