Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.
Динамика простого гармонического движения Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка: Где m — это масса тела, x — его перемещение относительно положения равновесия, k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины). Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково: x(t) = Acos(ωt + φ), где A, ω, и φ — это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A — это амплитуда, ω = 2πf — это круговая частота, и φ — начальная фаза. Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам: Ускорение может быть также выражено как функция перемещения: Поскольку ma = −mω²x = −kx, то Учитывая, что ω = 2πf, получим и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения. Модель математического маятника. Математиический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен и не зависит от амплитуды и массы маятника.Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы. При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной. Уравнение колебаний маятника Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) - это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид: .
Решения уравнения движения. Гармонические колебания Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы: где A — амплитуда колебаний маятника, θ0 — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями. Нелинейный маятник Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен: где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Параметр определяется выражением где — энергия маятника в единицахt-2Период колебаний нелинейного маятника где K — эллиптический интеграл первого рода.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 205; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.222.129.73 (0.006 с.) |