Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Где m — это масса тела, x — его перемещение относительно положения равновесия, k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково: x(t) = Acos(ωt + φ), где A, ω, и φ — это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения:

A — это амплитуда, ω = 2πf — это круговая частота, и φ — начальная фаза.

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам: Ускорение может быть также выражено как функция перемещения: Поскольку ma = −mω²x = −kx, то Учитывая, что ω = 2πf, получим и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Модель математического маятника. Математиический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен и не зависит от амплитуды и массы маятника.Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) - это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид: .

Решения уравнения движения.

Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы: где A — амплитуда колебаний маятника, θ0 — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен: где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр определяется выражением где — энергия маятника в единицахt^-2Период колебаний нелинейного маятника

где K — эллиптический интеграл первого рода.