Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Экологическая модель «хищник-жертва».
Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки. Впервые она была получена А.Лоткой (1925 г.), который использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии. Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками. Итак, караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями. Обозначим: у - число щук, х - число карасей. Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели. Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у). Рассмотрим dx/dt - скорость изменения численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная: dx/dt ~ a1 x, причем коэффициент a1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости. Скорость изменения dy/dt числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y. Будем считать, что dy/dt ~ -a2 y. Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают. В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений: dx/dt = a1 x - b1 yx
dy/dt = - a2 y + b2 yx Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты a1, a2, b1, b2 - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.
Модель «конкурирующие виды» Рассмотрим 2 вида животных, растений или бактерий, которые конкурируют друг с др. за продовольствие, доступное в их общей среде. Обозначим за х(t), у(t) численности их популяций в момент времени t. Предположим, что в отсутствии любых других видов данный вид имел бы ограниченную численность популяции, в отсутствие любого взаимодействия или конкурирующего вида численности их популяций удовлетворяли бы дифференциальному уравнению:
(5) Предположим, что конкуренция влияет на скорость снижения числ.-ти любой популяции, которая пропорциональна произведению их численности х*у. Добавим слагаемые с отрицательными коэффициентами пропорциональности - . В уравнениях (5) получим систему, описывающую конкуренцию: (6) В этой системе , , , , , положительные.
(7) (0;0) (0; ) (;0) Предположим, что уравнение имеет единственное решение, и составим точки равновесия в первом квадранте. Надо найти точку (), эта точка представляет возможность сосуществования двух видов с постоянными не равными 0, равновесными численными популяций и . Устойчивость этой точки зависит от того, какое из равенств выполняется: (8) (8) имеет единственную интерпретацию. Из (5) видно, что коэффициенты и оказывают задерживающее влияние на рост численности каждой популяции. С другой стороны, и представляют эффект конкуренции м/у этими двумя популяциями, следовательно, произведение - это мера подавления, а - мера конкуренции. Общий анализ системы (6) показывает следующее:
1. Если так, что конкуренция незначительна по сравнению с подавлением, то точка ) – устранимая точка равновесия, которая приближает каждое решение при t , т.о. оба вида могут сосуществовать. 2. Если так, что конкуренция доминирует, то точка ) – неустойчивая точка равновесия и либо х(t) , либо у(t) при t , т.е. 2 вида не могут сосуществовать
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 282; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.206.12.31 (0.014 с.) |