На выполнении какого условия основан метод наименьших квадратов. Приведите линейное однофакторное уравнение регрессии и двухфакторное уравнение регрессии С нелинейностью второго порядка.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ основан на методе наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных по аппроксимирующей зависимости была минимальной:

.

В лучшем случае при обработке результатов экспериментов известен вид математической зависимости между переменными, и тогда следует вычислить только неизвестные коэффициенты. Чаще всего вид математической зависимости неизвестен. В этом случае рекомендуется использовать степенные полиномы, которые при повышении степени полинома позволяют получать аппроксимирующие зависимости с любой заданной точностью. Рассмотрим самый простой пример однофакторной зависимости и проведем аппроксимацию этой зависимости линейной функцией:

(1)

Пусть проведено экспериментов, по результатам которых получены значений и значений . Чтобы для вычисления коэффициентов и
использовать один и тот же алгоритм, введем в формулу (1) фиктивную переменную , всегда равную единице:

(2)

При аппроксимации двухфакторных экспериментов требуется получить полином, в который оба фактора входят в первой степени:

y = b ₀ х ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂. (3)

Кроме того рекомендуется использовать дополнительные показатели, вводимые на основе дисперсионного анализа. Отметим, что дисперсионный анализ требует, чтобы переменные, по которым производится аппроксимация, подчинялись бы нормальному закону.

Какие показатели качества представления экспериментальных распределений уравнениями регрессии Вы знаете? На каком принципе основано применение дисперсионного анализа для оценки качества представления экспериментальных данных уравнениями регрессии?

Элементы дисперсионного анализа будут использованы для оценки показателей качества уравнений регрессии:

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя (общей дисперсии) на объясненную дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось.

Коэффициент множественной детерминации, который показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии

Критерий Фишера

По статистическим таблицам для критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации с приведенными количествами степеней свободы и рекомендуемого уровня значимости 0,05 находят их критические значения. Если вычисленные значения критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Ввиду того что коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости:

- диагональный элемент матрицы

чем больше величина , тем лучше.