Оптимизация решением системы уравнений в частных производных

Рассмотрим двухфакторную математическую зависимость:

Наиболее простой случай, когда нет никаких ограничений. В этом случае применяется классический метод вычисления экстремального значения по решению системы в частных производных по оптимизируемым переменным.

Необходимым условием экстремального значения является равенство нулю частных производных. Экстремальное значение находится решением системы уравнений в частных производных.

Вид экстремума определяется значением вторых частных производных:

1. Если и , то имеем максимум.

2. Если и , то имеем минимум.

3. Если , то «седло», т. е. нет ни минимума, ни максимума.

4. Если , то экстремум может быть или не быть. Требуется дополнительное исследование другим методом.

Найдем экстремальное значение для двухфакторной зависимости:

Проведем вычисление первых частных производных, значений аргументов в экстремальной точке и вторых частных производных:

 

При каких условиях для решения оптимизационных задач используются методы линейного программирования? Какие «классические» задачи линейного программирования Вы знаете?

Оптимизация методом линейного программирования

Если в математической постановке задачи оптимизации целевая функция и ограничения на другие функции линейные, то для ее решения применяется метод линейного программирования. Методами линейного программирования решены следующие типовые задачи.

1. Задача о поставщиках.

2. Задача о рационе.

3. Задача о планировании производства.

4. Транспортная задача.

Задача о поставщиках

Постановка задачи:

…

где – стоимость единицы потребляемого товара от i -го поставщика; – максимальное количество производимого товара i -м поставщиком; – количество товара, закупаемого у i -го производителя.

 

При наличии таких ограничений постановка задачи фактически сводится
к постановке задачи оптимизации

 

 

Какое условие к оптимизируемой функции должно выполняться, чтобы можно было использовать метод Ньютона? Как по-другому называется метод Ньютона и почему он имеет такое название?

Метод Ньютона

Для решения оптимизационных задач с нелинейными функциями можно использовать метод Ньютона (метод касательных). Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции равна нулю и корень уравнения можно искать приближенно методом касательных, который заключается в построении последовательных приближенных , следующим образом.
В точке строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берется в качестве следующего приближения .

Вычисления продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают экстремальное значение .

Замечания:

1. Если начальное приближение сравнительно близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.

2. Если начальное приближение выбрано недостаточно близко, то
для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор может привести к расходящемуся процессу, т.е. будем удаляться от экстремальной точки.

Для вычисления шага изменения значения аргумента в итерационном процессе проведем следующие преобразования: