Оценка значимости результатов имитационного моделирования

Для оценки значимости результатов имитационного моделирования от изменения факторов, отобранных для моделирования, рекомендуется использовать дисперсионный анализ. При проведении дисперсионного анализа требуется выполнение следующих требований.

1. Независимость последовательностей используемых случайных чисел, что обеспечивается применением качественных генераторов случайных чисел.

2. Равенство дисперсий во всех проводимых экспериментах, что нередко выполняется не полностью. Для уменьшения некорректности статистических выводов из-за несоблюдения этого требования рекомендуется в каждом варианте плана проводить одинаковое количество экспериментов с одинаковым количеством реализаций во всех проводимых экспериментах.

3. Нормальность сумм результатов на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Оценку значимости изменения факторов можно также провести по уравнению регрессии с использованием критерия Стьюдента.

 

49. Назовите цель планирования экспериментов. Какие виды планирования Вы знаете? Что они определяют? В чём заключается концепция «чёрного» ящика? Какие условия должны соблюдаться при её применении? Назовите требования, предъявляемые к факторам.

План полного факторного эксперимента

В графическом виде план по проведению эксперимента представляет собой вершины квадрата,

Вершины квадрата – план полного факторного эксперимента (ПФЭ). Обычно к этим точкам добавляется центральная точка, и пять проводимых экспериментов позволяют вычислить четыре коэффициента двухфакторной математической зависимости:

y = b ₀ x ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂.

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений

Цель планирования экспериментов – получение результатов с требуемой достоверностью при наименьших затратах. Планирование подразделяется
на стратегическое и тактическое.

1. Стратегическое планирование - определяет количество проводимых экспериментов, порядок их выполнения и значения изменяемых факторов в каждом эксперименте. Для стратегического планирования будем использовать концепцию «черного ящика».

2. Тактическое планирование - определяет количество реализаций состояния моделируемой системы в проводимых экспериментах для получения результатов моделирования с заданной достоверностью.

Концепция «черного ящика», суть которого – абстрагирование от физической сущности процессов, происходящих в моделируемой системе и выдаче заключений о ее функционировании только на основании значений входных и выходных переменных. Входные, независимые переменные называются факторами. Выходные – откликами, их величина зависит от значений факторов и параметров ОИ. Структурная схема «черного ящика» представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Структурная схема концепции черного ящика

 

При использовании концепции черного ящика должны выполняться следующие условия.

1. Рандомизация – случайность. Только при наличии случайности возможно корректное использование математического аппарата теории вероятностей и статистики.

2. Одновременное изменение всех факторов. Обеспечивает уменьшение стандартной ошибки при проведении экспериментов.

3. Последовательность планирования. Проведение экспериментов подразделяется на ряд последовательных этапов, и планирование каждого последующего этапа проводится с учетом результатов, полученных на предыдущих этапах.

4. Кодирование. Необязательно. Кодирование значительно упрощает расчеты и делает анализ результатов более наглядным, что весьма существенно при «ручной» обработке результатов. При применении ЭВМ кодирование также предоставляет некоторые преимущества в анализе результатов.

К факторам предъявляют следующие требования.

1. Факторы должны иметь легкую управляемость, что позволяет повторять проводимые эксперименты.

2. Факторы не должны являться функциями каких-то аргументов.

3. Факторы должны быть хотя бы линейно независимыми между собой, что позволяет упростить математическую модель, не вводя в нее произведения факторов между собой.

4. Любое сочетание факторов в стратегических планах не должно выводить объект из допустимого режима функционирования.

 

50. Назовите три замечательных свойства плана полного факторного эксперимента (ПФЭ); его достоинства и недостатки. При каком условии можно применять план дробного факторного эксперимента (ДФЭ)? В чём его суть?

Три замечательных свойства плана ПФЭ:

1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится
к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю.

2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна , где m – количество факторов.

3. Ортогональность, которая заключается в независимости всех факторов друг от друга.

Достоинства:

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений.

Кроме того, следует отметить сравнительную простоту составления плана ПФЭ, который представляет собой полный перебор совокупностей всех факторов по двум уровням. Таким образом, количество точек плана ПФЭ N = . Отметим, что добавляемая к ним центральная точка не является точкой плана ПФЭ.

План ПФЭ имеет существенный недостаток, проявляющийся при сравнительно большом количестве факторов, так при m = 3, N = 8; при m = 7, N = 128, а при m = 10, N = 1024, что является неприемлемым.

План дробного факторного эксперимента

В некоторых случаях, если факторы независимы друг от друга, можно значительно уменьшить количество проводимых экспериметов, применяя план дробных факторных экспериментов (ДФЭ). В ДФЭ факторы разделяются на основные и дополнительные. Для основных факторов составляется план ПФЭ, а дополнительные меняются по законам изменения произведений основных факторов. Таким образом, если в эксперименте используется семь факторов, то по плану ПФЭ понадобилось бы провести 128 экспериментов. Если же они независимы друг от друга, то, выделив из них три основных фактора и составив для них план ПФЭ, можно ограничиться всего 9 экспериментами с учетом центральной точки. Планы ДФЭ сохраняют все названные достоинства планов ПФЭ.

 

51. Назовите особенности ортогонального центрального композиционного плана (ОЦКП) и ротатабельного центрального композиционного плана (РЦКП).

Для вычисления коэффициентов математической зависимости (5.3) можно использовать ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) и
ротатабельный центральный композиционный план (РЦКП)

ОЦКП

ОЦКП сохраняет свойство симметричности плана из-за того, что на каждый фактор вводят по две симметричные звездные точки. Количество проводимых экспериментов: , для m = 2 N = 9. ОЦКП сравнительно несложно построить. ОЦКП в значительной мере упрощает вычисления, что особенно существенно для «ручных» вычислений. Свойство нормированности в ОЦКП сохранить не удается, но это и не так важно. Для обеспечения ортогональности столбцов матрицы планирования вводят некоторые сравнительно несложные преобразования. Расстояние звездной точки от середины осей координат вычисляется

Вычисляется вспомогательный коэффициент:

РЦКП

РЦКП обеспечивают несущественную величину ошибки в точках, равноотстоящих от центров проведения экспериментов, поэтому они широко применяются
в динамических методах поиска экстремальных значений. Расстояние от звездной точки до центра осей координат и количество проводимых экспериментов
в центральной точке вычисляются

Композиционные планы ОЦКП и РЦКП имеют существенный недостаток, который начинает сказываться с увеличением количества факторов в проводимых экспериментах: чем больше факторов, тем больше расстояние звездных точек от центра осей координат, которое все больше и больше удаляется от заданных границ диапазонов изменения факторов, что является нежелательным.

52. Назовите особенности построения D-оптимальных планов. Чем планы Коно отличаются от планов Кифера?

В D -оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того, они обладают еще одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всем принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера Характерной особенностью D- оптимальных планов является разница в количестве проводимых экспериментов для точек плана различного вида.

Планы Коно

Для многофакторных экспериментов в геометрической интерпретации диапазон изменения факторов представляется многомерным кубом, который далее будем называть просто куб. Для двух факторов этот куб вырождается в квадрат. Эксперименты по плану Коно проводятся в вершинах куба, серединах ребер и центре куба. Расположение точек стратегического плана Коно на квадрате и кубе.

Количество точек для двухфакторного эксперимента (m = 2) и трехфакторного эксперимента (m = 3)

m = 2	m = 3
= 4 = 4 = 1	= 8 = 12 = 1

Планы Кифера

Эксперименты по плану Кифера проводятся в вершинах куба, серединах ребер и центрах граней Расположение точек плана для двухфакторных и трехфакторных экспериментов

Количество точек в D- оптимальных планах Кифера приведено в табл. 5.5.

Таблица 5.5

m = 2	m = 3
= 4 =4 =1	=8 =12 =6

Отметим, что для того, чтобы не потерять корректность D -оптимальных планов и количество реализаций в каждом варианте было целым числом.