Диффернцирование функции одной переменной.

ДИФФЕРНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Производной данной функции по аргументу назывется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

 

Правила дифференцирования.

Если и являются дифференцируемыми функциями аргумента , то:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Таблица производных элементарных функций:

	Функция	Производная функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
13.
14.
15.

Задания 1. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10. .
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

Производная сложной функции.

Если и являются дифференцируемыми функциями своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной:

(6)

В случае , , :

 

(7)

Аналогично во всех более сложных случаях.

 

Пример 1

Найти производную функции

Решение:

Аргументом данной функции является

Используя таблицу производных, имеем:

.

Производную функции по переменной найдем, используя правило дифференцирования частного (3) и таблицу производных:

Таким образом, получаем, согласно (6):

Ответ:

Задания 2. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10. .
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

 

Производная функции, заданной неявно.

Пусть зависимость между и задана в виде соотношения:

(8)

В этом случае говорят, что функция задана неявно.

Для вычисления производной необходимо:

а) вычислить производные от обеих частей уравнения (8), считая при этом функцией от ;

б) приравнять полученные производные;

в) решить полученное уравнение относительно .

 

Пример 2

Найти производную , если

Решение:

а) вычисляем производные от обеих частей заданного равенства, считая функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем уравнение относительно :

Ответ:

 

Производная функции, заданной параметрически.

 

Функция является заданной параметрически, если и заданы как функции параметра :

(9)

Если - дифференцируемые функции и , то производная может быть найдена по формуле:

(10)

Пример 3

Найти производную , если

 

Решение:

Находим :

Воспользовавшись формулой (10), получаем:

 

Ответ:

 

Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим степенно-показательную функцию .

Для вычисления производной предварительно прологарифмируем :

Продифференцируем обе части полученного равенства, считая при этом функцией от :

Разрешая полученное уравнение относительно , окончательно получаем:

 

(11)

Пример 4

Найти производную функции

Решение:

Прологарифмируем заданную функцию:

Продифференцируем обе части полученного равенства по :

Приравниваем полученные производные:

Учитывая явный вид заданной функции, окончательно получаем:

Ответ:

Задания 3. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

 

Пример 5

Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции:

Найдем вторую производную согласно (12):

 

Ответ:

Пример 6

Найти производную -го порядка функции .

Решение:

 

Подставим найденные производные в формулу (15). Тогда

 

Ответ:

Если задана параметрически в виде (9), то производная второго порядка может быть вычислена как

, (16)

где определена по формуле (10).

Для вычисления второй производной функции, заданной параметрически, можно также использовать формулу

(17)

Пример 7

Найти производную второго порядка , если

Решение:

Найдем :

 

Воспользовавшись формулой (10), получаем :

Найдем :

найдем по формуле (16):

Ответ:

Задания 4.

Найти производные функций указанного порядка:

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.
8.

Применяя формулу Лейбница, найти производные функций n-го порядка:

9.	10.
11.

Найти производные 2-го порядка функций заданных параметрически:

12.	13.
14.	15.

 

Дифференциал функции.

Вычисление дифференциала.

Приращение функции может быть представлено в виде

(18)

Произведение , представляющее собой, так называемую главную часть приращения, линейную относительно , называют дифференциалом

функции и обозначается следующим образом:

(19)

Правила вычисления дифференциала имеют вид:

(20)

(21)

(22)

(23)

Пример 8

Найти дифференциал функции

Решение:

 

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем производную заданной функции:

Тогда,согласно (19) получаем:

Ответ:

Пример 9

Найти дифференциал функции, заданной неявно:

Решение:

 

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем .

Воспользуемся правилом вычисления производной, приведенным в 3.

а) вычисляем производные от обеих частей заданного уравнения, считая при этом функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем полученное уравнение относительно :

Тогда,согласно (19) получаем:

 

Ответ: .

 

Пример 10

Насколько приблизительно изменилась сторона квадрата, если его площадь увеличилась от 9 м² до 9,1м²?

Решение:

Обозначим через площадь квадрата, а через - его сторону.

Тогда

По условию ;

Приращение стороны квадрата найдем согласно (24).

Тогда

.

 

Ответ: Сторона квадрата увеличилась приблизительно на 0,016 м.

Пример 11

Найти приближенное значение .

Решение:

 

Воспользуемся формулой (25). В данном случае . В качестве выберем . Тогда , .

Найдем :

 

Тогда, согласно (25) получаем:

Ответ: .

 

Пример 12.

Вычислить в случае если а) -независимая переменная; б)

Решение:

а) -независимая переменная

тогда, согласно (26)

б)

По формуле (27) получаем

Ответ: а) б)

 

Задания 5.

Найти дифференциалы функции:

1. .	2.
3.	4.
5.	6.

Найти дифференциалы функции, заданных неявно:

7. .

8.

Найти дифференциалы 2-го порядка:

9. .

10.

Найти функции в случае если

11. .

12.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

 

13. . 14 .arctg 1,02.

15. 16. .

17. Найти точное и приближенное изменение объёма шара при изменении его радиуса с до

 

 

Пример 13

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

 

Ответ:

 

8.2 Раскрытие неопределенности типа .

 

Для раскрытия неопределенности типа преобразуем произведение , где , , в частное:

или (30)

и далее воспользуемся правилом Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 14

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Преобразуем произведение в частное

В результате получили неопределенность типа .

Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

.

Ответ:

 

8.3 Раскрытие неопределенности типа .

 

Для раскрытия неопределенности типа разность преобразуем в произведение:

(31)

Если , то произведение (31) может быть преобразовано в частное:

(32)

Предел (32) представляет собой неопределенность типа и может быть вычислен с помощью правила Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 15

Вычислить предел .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, согласно изложенной схеме:

Для упрощения вычислений воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых при :

Тогда Ответ:

 

8.4 Раскрытие неопределенностей типа .

 

Неопределенности указанного типа раскрываются с помощью предварительного логарифмирования:

(33)

В результате получаем неопределенность типа (см. пункт 8.2).

 

Пример 16

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае

,

,

т.е. имеем неопределенность типа .

Прологарифмируем функцию, стоящую под знаком предела и преобразуем полученное выражение в частное:

.

Получили неопределенность типа . Вычислим полученный предел, используя правило Лопиталя – Бернулли (29):

 

 

Таким образом, получаем

.

Следовательно,

 

Ответ:

Задания 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:

 

 

 

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна .

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

 

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

 

 

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали: .

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой .

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

 

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точки пересечения касательной с осью :

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью . Поэтому, - угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координаты точки пересечения нормали с осью :

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

 

Где угол – угол между нормалью и осью . Поэтому, - угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

 

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная ;

Длина нормали ; поднормаль

 

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3. К циклоиде в точке, для которой

.

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

 

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

 

 

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

знак