Производная сложной функции.

Если и являются дифференцируемыми функциями своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной:

(6)

В случае , , :

 

(7)

Аналогично во всех более сложных случаях.

 

Пример 1

Найти производную функции

Решение:

Аргументом данной функции является

Используя таблицу производных, имеем:

.

Производную функции по переменной найдем, используя правило дифференцирования частного (3) и таблицу производных:

Таким образом, получаем, согласно (6):

Ответ:

Задания 2. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10. .
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

 

Производная функции, заданной неявно.

Пусть зависимость между и задана в виде соотношения:

(8)

В этом случае говорят, что функция задана неявно.

Для вычисления производной необходимо:

а) вычислить производные от обеих частей уравнения (8), считая при этом функцией от ;

б) приравнять полученные производные;

в) решить полученное уравнение относительно .

 

Пример 2

Найти производную , если

Решение:

а) вычисляем производные от обеих частей заданного равенства, считая функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем уравнение относительно :

Ответ:

 

Производная функции, заданной параметрически.

 

Функция является заданной параметрически, если и заданы как функции параметра :

(9)

Если - дифференцируемые функции и , то производная может быть найдена по формуле:

(10)

Пример 3

Найти производную , если

 

Решение:

Находим :

Воспользовавшись формулой (10), получаем:

 

Ответ:

 

Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим степенно-показательную функцию .

Для вычисления производной предварительно прологарифмируем :

Продифференцируем обе части полученного равенства, считая при этом функцией от :

Разрешая полученное уравнение относительно , окончательно получаем:

 

(11)

Пример 4

Найти производную функции

Решение:

Прологарифмируем заданную функцию:

Продифференцируем обе части полученного равенства по :

Приравниваем полученные производные:

Учитывая явный вид заданной функции, окончательно получаем:

Ответ:

Задания 3. Найти производные функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

 

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной :

(12)

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и, вообще, любого -го порядка:

(13)

Производная -го порядка от суммы функций равна:

(14)

 

Производная -го порядка от произведения функций вычисляется по формуле Лейбница:

(15)

 

Пример 5

Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции:

Найдем вторую производную согласно (12):

 

Ответ:

Пример 6

Найти производную -го порядка функции .

Решение:

 

Подставим найденные производные в формулу (15). Тогда

 

Ответ:

Если задана параметрически в виде (9), то производная второго порядка может быть вычислена как

, (16)

где определена по формуле (10).

Для вычисления второй производной функции, заданной параметрически, можно также использовать формулу

(17)

Пример 7

Найти производную второго порядка , если

Решение:

Найдем :

 

Воспользовавшись формулой (10), получаем :

Найдем :

найдем по формуле (16):

Ответ:

Задания 4.

Найти производные функций указанного порядка:

 

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.
8.

Применяя формулу Лейбница, найти производные функций n-го порядка:

9.	10.
11.

Найти производные 2-го порядка функций заданных параметрически:

12.	13.
14.	15.

 

Дифференциал функции.

Вычисление дифференциала.

Приращение функции может быть представлено в виде

(18)

Произведение , представляющее собой, так называемую главную часть приращения, линейную относительно , называют дифференциалом

функции и обозначается следующим образом:

(19)

Правила вычисления дифференциала имеют вид:

(20)

(21)

(22)

(23)

Пример 8

Найти дифференциал функции

Решение:

 

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем производную заданной функции:

Тогда,согласно (19) получаем:

Ответ:

Пример 9

Найти дифференциал функции, заданной неявно:

Решение:

 

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем .

Воспользуемся правилом вычисления производной, приведенным в 3.

а) вычисляем производные от обеих частей заданного уравнения, считая при этом функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем полученное уравнение относительно :

Тогда,согласно (19) получаем:

 

Ответ: .