Общая схема исследования и построения графика функции заданной явно.

 

Общее исследование функции следует проводить по приведенной ниже схеме:

1.Определить область существования функции, область непрерывности, точки разрыва.

2. Найти асимптоты функции.

3. Выяснить вопрос о периодичности.

4. Выяснить вопрос о четности или нечетности.

В случае, если функция окажется четной или нечетной достаточно исследовать функцию только при положительных значениях аргумента. При построении графика следует учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

5.Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью абсцисс - точки , где -решение уравнения ;

с осью ординат- точки , где .

6. Найти промежутки монотонности и локальные экстремумы.

7.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

8. Составить таблицу

	Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута		Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута		Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута		Возрастает или убывает, Выпукла или вогнута
	знак		знак		знак		знак
	знак		знак		знак		знак

 

Точки -все найденные в п.6-7 точки, в которых производные обращаются в нуль или не существуют.

9.На основании проведенного исследования построить график заданной функции.

Пример 26

Провести полное исследование и построить график функции .

 

Решение:

Область определения функции

Точка разрыва функции , функция непрерывна на и .

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота .

Поведение функции в окрестности :

Найдем наклонную асимптоту:

 

Прямая является наклонной асимптотой заданной кривой.

3. Функция не является периодической.

4. Четность функции

Условие четности или нечетности не выполнено. Заданная функция –функция общего вида.

 

5. Точки пересечения с осями.

График функции проходит через начало координат.

 

6. Промежутки монотонности, локальные экстремумы.

 

Найдем критические точки:

знак

Исследуем знак производной методом интервалов:

+

+

-

+

Найдем значения функции в критических точках:

7.Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

Найдем вторую производную.

Точки, в которых равна нулю или несуществует:

Исследуем знак второй производной методом интервалов:

 

 

знак

-

+

+

 

 

8. Составляем таблицу.

 

				-
	+		+	-	-		+
	-		+	-	+		+
		перегиб		разрыв		Мин.