Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Согласно формуле (18) в случае, когда , приращение функции в точке можно считать приближенно равным ее дифференциалу (

(24)

Учитывая, что

Получаем формулу, для приближенного вычисления значения функции в точке , близкой к точке :

(25)

Пример 10

Насколько приблизительно изменилась сторона квадрата, если его площадь увеличилась от 9 м² до 9,1м²?

Решение:

Обозначим через площадь квадрата, а через - его сторону.

Тогда

По условию ;

Приращение стороны квадрата найдем согласно (24).

Тогда

.

 

Ответ: Сторона квадрата увеличилась приблизительно на 0,016 м.

Пример 11

Найти приближенное значение .

Решение:

 

Воспользуемся формулой (25). В данном случае . В качестве выберем . Тогда , .

Найдем :

 

Тогда, согласно (25) получаем:

Ответ: .

 

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал, от дифференциала первого порядка:

(26)

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и, вообще любого -го порядка.

Если и - независимая переменная, то

(27)

(28)

Пример 12.

Вычислить в случае если а) -независимая переменная; б)

Решение:

а) -независимая переменная

тогда, согласно (26)

б)

По формуле (27) получаем

Ответ: а) б)

 

Задания 5.

Найти дифференциалы функции:

1. .	2.
3.	4.
5.	6.

Найти дифференциалы функции, заданных неявно:

7. .

8.

Найти дифференциалы 2-го порядка:

9. .

10.

Найти функции в случае если

11. .

12.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

 

13. . 14 .arctg 1,02.

15. 16. .

17. Найти точное и приближенное изменение объёма шара при изменении его радиуса с до

 

 

Правило Лопиталя – Бернулли.

8.1 Раскрытие неопределенностей типа и .

Пусть и -дифференцируемые функции, причем .

Если и являются бесконечно малыми или бесконечно большими при , тогда

(29)

при условии, что предел отношения производных существует. При необходимости формула (29) может быть применена к полученным отношениям несколько раз.

Пример 13

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

 

Ответ:

 

8.2 Раскрытие неопределенности типа .

 

Для раскрытия неопределенности типа преобразуем произведение , где , , в частное:

или (30)

и далее воспользуемся правилом Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 14

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Преобразуем произведение в частное

В результате получили неопределенность типа .

Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

.

Ответ:

 

8.3 Раскрытие неопределенности типа .

 

Для раскрытия неопределенности типа разность преобразуем в произведение:

(31)

Если , то произведение (31) может быть преобразовано в частное:

(32)

Предел (32) представляет собой неопределенность типа и может быть вычислен с помощью правила Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 15

Вычислить предел .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, согласно изложенной схеме:

Для упрощения вычислений воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых при :

Тогда Ответ:

 

8.4 Раскрытие неопределенностей типа .

 

Неопределенности указанного типа раскрываются с помощью предварительного логарифмирования:

(33)

В результате получаем неопределенность типа (см. пункт 8.2).

 

Пример 16

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае

,

,

т.е. имеем неопределенность типа .

Прологарифмируем функцию, стоящую под знаком предела и преобразуем полученное выражение в частное:

.

Получили неопределенность типа . Вычислим полученный предел, используя правило Лопиталя – Бернулли (29):

 

 

Таким образом, получаем

.

Следовательно,

 

Ответ:

Задания 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли: