Задача цілочисельного програмування

Основні причини використання цілочисельного програмування (ЦП) для розв’язання задачі оптимального розподілу інвестицій між міжнародними проектами полягають у наступному:

1) складності, що виникають при прийнятті часткових міжнародних інвестиційних проектів, як це було в задачі лінійного програмування, зникають, бо цілочисельне програмування потребує, щоб проекти приймались або цілком, або відхилялися;

2) усі взаємозалежності між міжнародними проектами можуть бути включені до обмежень задачі цілочисельного програмування, в той час як це неможливо зробити у задачі лінійного програмування через існування часткових проектів.

Загальна постановка задачі:

Максимізувати (8.4)

при обмеженнях:

(8.5)

(8.6)

На відміну від формулювання задачі лінійного програмування, в цій постановці X_j набувають цілих значень 0 або 1. Якщо X_j = 1, то проект приймається, якщо X_j = 0 – відхиляється.

При використанні простих моделей оцінки міжнародних інвестиційних проектів – NPV, IRR та PI – припускалося, що всі міжнародні проекти незалежні один від одного, тобто грошові потоки інвестиційних проектів не взаємопов’язані між собою, не впливають або не змінюють потоки один одного при прийнятті деяких з них.

При використанні постановки задачі оптимізації розподілу інвестицій між міжнародними проектами в термінах цілочисельного програмування будь-які взаємозалежності між проектами можуть бути введені до моделі шляхом використання спеціальних обмежень.

Існують три види залежностей між міжнародними проектами – альтернативні, доповнюючі та залежні.

Альтернативні проекти – це проекти, прийняття одного з яких виключає прийняття будь-якого іншого.

В задачі ЦП існування таких міжнародних проектів описується обмеженням:

(8.7)

де J – множина альтернативних міжнародних проектів.

Це обмеження показує, що або лише один проект обирається з множини J, або жоден. Але якщо потрібно вибрати все-таки один міжнародний проект з множини проектів J, то обмеження записується як:

(8.8)

Важливим застосуванням даного обмеження є ситуація, коли мультинаціональна компанія бажає відкласти прийняття проекту на один чи більше років. Це можливо продемонструвати на прикладі.

Припустимо, є міжнародний проект X з грошовими потоками

 

Рік	Грошові потоки проекту X
	– $100
	+ 75
	+ 75
	+ 75

 

NPV міжнародного проекту при ставці дисконту 10% дорівнює $86,51. Якщо компанія хоче визначити, чи бажано відкласти прийняття проекту на 1 або 2 роки, необхідно ввести два нові варіанти проекту: X -проекти X ₁ та X ₂:

 

Рік	Грошові потоки
X 1	X 2
	$ 0	$ 0
	– 100
	+ 75	– 100
	+ 75	+ 75
	+ 75	+ 75
		+ 75

NPV міжнародних проектів X ₁ та X ₂ при вартості капіталу компанії 10% дорівнюють відповідно $78,66 та $71,50.

Для того, щоб вибрати один з трьох варіантів проекту, необхідно записати таке обмеження:

Залежні проекти – це такі проекти, прийняття одного з яких обумовлює попереднє прийняття інших проектів. Наприклад, якщо проект A не приймається без попереднього прийняття проекту B, то проект A є залежним від проекту B. Така залежність описується обмеженням:

(8.9)

Доповнюючі проекти – це проекти, прийняття одного з яких впливає на грошові потоки одного або більше проектів.

Припустимо, що є два взаємно доповнюючи проекти (7) і (8). Будь-який з цих проектів може бути прийнятий окремо, однак якщо обидва вони прийматимуться, то інвестиції меншають, а грошові надходження зростають.

Для розв’язання проблеми слід ввести новий проект, наприклад (78), який матиме первинні інвестиції в розмірі 90% від сумарних інвестицій у проекти (7) і (8), а NPV – у розмірі 115% від суми NPV обох проектів. Крім того, слід виключити прийняття одночасно обох проектів (7) і (8) та проекту (78), який є об’єднанням перших двох:

 

Перелік питань для самоконтролю знань

1. Поясніть, якою може бути сфера використання методів математичного програмування в процесі оцінки міжнародних інвестиційних проектів.

2. Наведіть у загальному вигляді стандартну і модифіковану постановки задачі розподілу інвестиційних ресурсів між міжнародними проектами в термінах лінійного програмування.

3. Покажіть, з якими групами обмежень пов’язана постановка задачі оптимального розподілу інвестицій між міжнародними проектами в термінах цілочисельного програмування.