Множина портфелів, що відповідають даним умовам, називається ефективною множиною або ефективним кордоном.

Розглянемо рис. 6.4:

Досяжна множина являє собою всі портфелі, що можуть бути сформовані з N міжнародних проектів (ЦП). Це означає, що всі можливі портфелі, які можуть бути сформовані з N проектів, лежать або на кордонах досяжної множини, або всередині неї (точки E, G, S і H є прикладами таких портфелів). Здебільшого досяжні множини портфелів мають форму парасольки, хоч можуть бути і ширшими, і вужчими, розташовуватися і нижче, й вище.

E

G

S

H

Досяжна множина портфелів

E (RP)

Рис. 6.4. Досяжна множина портфелів

 

Застосуємо теорему про ефективну множину до досяжної множини портфелів, що зображена на рис. 6.4. В результаті аналізу доходимо наступних висновків:

· не існує менш ризикованого портфеля, ніж портфель E. Це пояснюється тим, що коли провести через точку E вертикальну пряму, то жодна точка досяжної множини не лежати лівіше цієї прямої;

· не існує ризикованішого портфеля, ніж портфель H. Якщо провести через точку H вертикальну лінію, то жодна точка не лежатиме правіше цієї прямої;

· не існує портфеля, що забезпечує більшу сподівану прибутковість, аніж портфель S. Якщо провести горизонтальну пряму через точку S, то жодна точка не лежатиме вище цієї прямої;

· не існує портфеля, що забезпечує менш сподівану прибутковість, аніж портфель G. Якщо провести горизонтальну пряму через точку G, то жодна точка не лежатиме вище цієї прямої.

Множина портфелів, що забезпечує максимальну сподівану прибутковість при рівні ризику, що змінюється, є частина верхньої межі досяжної множини між точками E і H. Множина портфелів, що забезпечує мінімальний ризик при рівні прибутку, що змінюється, є частина лівого кордону досяжної множини між точками S і G.

Враховуючи ці умови, до уваги повинні братися тільки портфелі, розташовані на верхньому і лівому кордоні досяжної множини, а саме на кривій між точками E і S, які й складають ефективну множину портфелів з даної досяжної множини. Саме з множини ефективних портфелів міжнародний інвестор вибиратиме для себе оптимальний портфель. Усі інші портфелі, не розташовані на кривій ES, є неефективними й надалі не розглядатимуться.

Для того, щоб вибрати оптимальний портфель, міжнародний інвестор має побудувати свою криву байдужості на одному рисунку з ефективною множиною портфелів, а потім уже вибирати оптимальний портфель, розташований на кривій байдужості вище й лівіше від інших.

Оптимальний портфель відповідатиме точці, в якій крива байдужості торкається ефективного кордону портфелів (рис. 6.5).

I 2 S S

I 2

I 3

E (RP)

C

O

H

E

G

Рис. 6.5. Вибір оптимального портфеля

 

Таким портфелем для міжнародного інвестора, що має безліч кривих байдужості, показаних на рис. 6.5, є точка O на кривій байдужості I ₂. Досяжних портфелів, що лежать на кривій байдужості I ₃, не існує.

Що ж до кривої байдужості I ₁, то існує кілька портфелів, які може вибрати міжнародний інвестор, наприклад, портфель C. Але портфель O є найкращим, бо він лежить на кривій байдужості, розташованій вище й лівіше.

 

(5) Якщо перетворити загальне рівняння визначення середньоквадратичного відхилення (ризику) портфеля міжнародних проектів (ЦП) (формула 6.3) для випадку, коли міжнародний проект складається з двох проектів (ЦП) 1 та 2, то отримаємо:

(6.5)

З рівняння (6.5) видно, що ризик портфеля двох міжнародних проектів (ЦП) залежить не лише від ризику кожного з проектів (ЦП), що складають портфель, але також від кореляції цих проектів (ЦП) (кореляції їхніх норм прибутку).

Для того, щоб відшукати структуру портфеля міжнародних проектів (ЦП), що забезпечить йому мінімальний ризик, треба мінімізувати дисперсію портфеля двох проектів шляхом прирівнювання до нуля першої похідної як функції від X ₁. Тоді одержимо:

де (6.6)

Для визначення впливу кореляції між проектами (ЦП) на ризик сформованого портфеля, візьмемо за основу формулу (6.5) і проаналізуємо деякі основні екстремальні випадки, коли дорівнюватиме або +1, або -1, або 0.

Випадок 1.

Це один з екстремальних випадків, коли сподівані грошові потоки міжнародних проектів залежать один від одного функціонально. Такими проектами можуть бути взаємодоповнюючі проекти.

Підставивши значення у формулу (6.5), отримаємо:

(6.7)

Ризик портфеля в цьому разі є середньозваженою величиною ризику окремих міжнародних проектів, а ваговими коефіцієнтами є частки цих проектів у портфелі.

Випадок 2.

Цей випадок відображає абсолютно від’ємну кореляцію між проектами 1 і 2. Підставляючи значення коефіцієнта кореляції у формулу (6.5), отримаємо:

(6.8)

У даному разі ризик портфеля міжнародних проектів можна зробити нульовим, тобто:

(6.9)

Випадок 3.

Цей випадок описує відсутність будь-якого взаємозв’язку між сподіваними нормами прибутковості міжнародних проектів, тобто формування прибутковості одного проекту не пов’язано з формуванням прибутковості другого проекту. Підставивши значення в формулу (6.5) обчислення стандартного відхилення портфеля міжнародних проектів, отримаємо:

(6.10)

Ця функція досягає свого мінімуму, якщо:

(6.11)

Мінімальне значення ризику портфеля можна обчислити також з формули:

(6.12)

Отже, вміле формування портфелів з двох міжнародних проектів може привести до значного зменшення ризику. Такі дії міжнародного інвестора чи інвестиційного менеджера називаються диверсифікацією.

Перелік питань для самоконтролю знань

1. Поясніть, що являє собою портфель міжнародних інвестицій згідно з підходом Г. Марковіца. Наведіть та охарактеризуйте формулу розрахунку сподіваних доходів портфеля міжнародних інвестиційних проектів (цінних паперів).

2. Побудуйте на графіку та прокоментуйте криві байдужості міжнародного інвестора, у т.ч.: а) азартного; б) нейтрального до ризику.

3. Аргументовано поясніть, що вимірює коваріація між двома міжнародними проектами.

4. Доведіть, від знака якого коефіцієнта залежить знак коваріації. Поясніть, що означають позитивна, негативна та нульова коваріації.

5. Покажіть, як обчислити сподівану вартість та стандартне відхилення портфеля міжнародних інвестицій. Обґрунтуйте, які дані для цього потрібно мати.

6. З’ясуйте, як визначити сподівану вартість та стандартне відхилення портфеля міжнародних інвестицій з мінімальним ризиком. Обґрунтуйте, які дані для цього слід мати.

7. Визначте поняття ефективного портфеля міжнародних проектів (цінних паперів). Доведіть, яка комбінація проектів (паперів) у портфелі може вважатися неефективною.

8. Наведіть алгоритм визначення ефективного кордону (множини) портфеля з двох міжнародних інвестиційних проектів.

9. Покажіть, як обрати оптимальний портфель активів (міжнародних проектів).