Деление отрезка в данном отношении.

 

3.Понятие об ур-нии линии.

Определение окружности и ее определение.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

5.Общее уравнение прямой.

Метод обратной матрицы решения системы алгебраических уравнений.

m = n, det A ≠ 0

A×X = B

Умножаем систему 2 слева на матрицу А^-1

А^-1 × А × Х = А^-1 × В

Е × Х = А^-1 × В

Х = А^-1 × В

6.Ур-ние прямой, проходящей через 2 точки. Ур-ние прямой в отрезках.

 

Скалярные и векторные велечины. Сложение, вычетание векторов, умножение вектора на число.

15.Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D=0, где ABCD- некоторые числа, причем A²+B²+C²>0.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору: M₀M перпендикулярно ó ×M₀M=0, M₀M=(x-x₀,y-y₀,z-z₀), ×M₀M=A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, Ax + By + Cz + (-Ax₀ - By₀ - Cz₀)= 0.

2. Уравнение плоскости в отрезках на осях: Ax+By+Cz =D, - - - = 1, + + =1, =a, =b, =c, + + = 1.

3.Уравнение плоскасти по трем точкам: 0=[M₁M, M₁M₂, M₁M₃]- компланарные, M₁M=(x-x₁, y-y₁, z-z₁), M₁M₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), M₁M₃=(x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁).

Угол между плоскостями: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

=(A₁, B₁, C₁ ), =(A₂, B₂, C₂) =

Плоскости будут параллельны, если вектора калиниарны: n₁⃓⃓ n₂ ó = = ≠

A₁x + B₁y + C₁z + D₁=0_.

Плоскости перпендикулярны, когда вектора ортогональные:

=0, A₁×A₂ + B₁×B₂ + C₁×C₂ =0

Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол между 2-мя векторами.

Угол между векторами a₁{X₁;Y₁;Z₁},a₂{X₂;Y₂;Z₂} можно найти по формуле

Условие коллинеарности:

Векторы назыв коллинеарными если они || одной плоскости

Если векторы a₁{X₁;Y₁;Z₁},a₂{X₂;Y₂;Z₂} коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны X₂: X₁= Y₂: Y₁= Z₂: Z и обратно. Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы равнонаправлены, если отрицателен, то – противопол направ.

Условие компланарности:

Три вектора назыв компланарными, если они, будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости

Условие (необходимое и достаточное) компланарности векторов a₁{X₁;Y₁;Z₁}, a₂{X₂;Y₂;Z₂},a₃{X₃;Y₃;Z₃}:

8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

 

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

 

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

 

Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор А'В', начало которо­го А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_ох АВ или, короче, Пр АВ. Если ось ОХ задана вектором с, то вектор А'В' на­зывается также проекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Пр_с АВ.

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора А'В', взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли вектор А'В' то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: пр_ох АВ или пр_с АВ.

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора есть число.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр ( а₁ + а₂ + а₃) = Пр а₁ + Пр а₂ + Пр а₃ (1) и

np(а₁ + а₂ + а₃) = пра₁ + пра₂ + пра₃. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b = |b| cos (а^b). (3)

 

12.Операции над векторами:

1.Произведение вектора ā на число назыв вектор α*ā, модуль которого = |α|*|ā|, а направление совпадает с направлением вектора ā если α > 0 и противоположны ему если α<0

2.Анологичное правило для деления

3.Суммой векторов ā₁,ā₂,…,ā_n назыв вектор обознач ā₁+ā₂+…+ā_n= ā_1, начало которого находится в начале вектора ā_n, ломаной линии составлен из последов слогаемых векторов (правило замыкания ломоной)

4.Анологичное правило для вычитания